Problème sur une division polynomiale

[anthony2306]

Bonjour,

Actuellement je révises mes cours pour un examen d'entrée dans une école polytechnique et je bloques sur une question ! Question '8 : Un polynome f (x) a comme reste ‚5 après division par x− 4. Le reste de la division de f (x) par (x−4) au carré est de la forme ax + b et est divisible par (x +2 ). Faire une division polynomiale ne me pose pas de problème d'habitude mais dans ce cas ci j'imagine qu'il faut faire le chemin inverse pour trouver la réponse ? Si quelqu'un pourrait me filer les tuyaux pour y arriver ce serait très sympa

[siger]

´bonjour

j'ai du mal a comprendre :
". le reste de la division de f(x) par (x-4) au carre est de la forme ax+ b et est divisible par (x+2)"
qu'est ce qui est divisible par ( x+2)? ax + b (???)
.....

[anthony2306]

Oui c'est cela ! Après la division du reste par (x--4) au carré, le reste de cette division est de la forme ax+b et est divisible par (x+2) . Donc oui ax+b est divisible par (x+2)

[siger]

re

OK
donc si ax + b est divisible par (x+2) on a
ax+ b = k(x+2) + 0
d'ou
a = k et b = 2 k
.......

[anthony2306]

Oui j'ai oublié dans l'énoncer la question finale, la question finale de l'exercice est que vaut a+b ?

[zygomatique]

salut

(1)

(2)

on élève (1) au carré et on essaie d'identifier avec (2)

...

[siger]

re

sauf erreur de ma part
Q(x) (x-4)^2 + k( x+2) = f(x)
et non = (f(x))^2
non?
........

[zygomatique]

salut

(1)

(2)

on élève (1) au carré et on essaie d'identifier avec (2)

...

oui pardon merci siger ... mais avec cet énoncé pourri (pas aéré, pas de saut de lignes je me suis mélangé les pinceaux ...)

(1)

(2)

et on identifie (1) et (2)

[Pseuda]

Bonjour,

Que vaut f(4) ? Ceci devrait te permettre de résoudre ce problème.

[anthony2306]

Merci beaucoup tous les deux pour votre intervention ! Mais que signifie Q, K et P ?

[siger]

Re

un polynome f(x) divisible par (x-4) s'ecrit
f(x) = P(x) *(x-4)
formule dans laquelle P(x) est un polynome de degre n-1 si f(x) est un polynome de degre n
idem pour
f(x) = Q(x) *(x-4)²
ou Q(x) polynome de degre n-2
idem pour k
qui est une constante (degre 1-1=0) puisque ax+b = k(x-2)

[zygomatique]

Merci beaucoup tous les deux pour votre intervention ! Mais que signifie Q, K et P ?

un peu de sérieux !!! comment peux-tu poser un tel exercice si tu ne sais même pas les rudiments de la division .... (qui est la même que dans les entiers : la condition sur le reste se traduisant par une condition sur le degré des polynomes

salut

(1)

(2)

on élève (1) au carré et on essaie d'identifier avec (2)

...

oui pardon merci siger ... mais avec cet énoncé pourri (pas aéré, pas de saut de lignes je me suis mélangé les pinceaux ...)

(1)

(2)

et on identifie (1) et (2)

donc 2k = 5 et k = 5/2

donc ax + b = (5/2)(x + 2)

....

[siger]

Re

Desolé Zygomatique, il y a des jours commme ça!

f(x) = Q(x) *(x-4)² +k(x+2) = Q(x)*(x-4)² + k (x-4 + 6) = (x-4)*(Q(x)*(x-4) + k) + 6k
d'ou k = 5/6 et non 5/2 ........

[zygomatique]

Re

Desolé Zygomatique, il y a des jours commme ça!

f(x) = Q(x) *(x-4)² +k(x+2) = Q(x)*(x-4)² + k (x-4 + 6) = (x-4)*(Q(x)*(x-4) + k) + 6k
d'ou k = 5/6 et non 5/2 ........

désolé ... et merci du correctif ...

en plus comme tu le vois j'ai simplement fait un copier-coller (en fait une citation) d'une premier post où se trouvait déjà l'erreur ..