[Arithmétique] Déterminer un nombre avec contraintes

[anthony_unac]

Bonjour,

Voici le défi du jour :
************************
Déterminer un nombre premier tel que l'addition, la soustraction et la multiplication des chiffres qui le composent soit égal en valeur absolue.

Cordialement
Anthony CANU

[Doraki]

5.

c'est combien la soustraction des chiffres de 123 ?

[lulu math discovering]

Un nombre premier à autant de chiffres que l'on veut ?

La soustraction dans n'importe quel ordre de ses chiffres ? (pour les nombres à 3 chiffres ou plus)

[lulu math discovering]

Oui Doraki, les nombres à 1 chiffre sont problématiques aussi.

[anthony_unac]

5.

c'est combien la soustraction des chiffres de 123 ?

Effectivement Doraki 2;3;5 et 7 sont des solutions évidentes mais c'est ensuite que ça se complique ! Je vais essayer de formaliser le problème d'ici cette nuit

La soustractions des chiffres du nombre 123 correspondrait à 1-2-3=-4 ce qui correspond à 4 en prenant la valeur absolue.

[Pseuda]

Les nombres à 2 chiffres sont problématiques aussi. La somme des chiffres est toujours supérieure (hum) à la différence des chiffres en valeur absolue, sauf si le 2ème chiffre est 0, mais dans ce cas, le produit des chiffres est 0 ; mais alors, le nombre cherché est 0, qui n'est pas premier.

[lulu math discovering]

Je crois avoir démontré qu'il n'existe pas d'autre solution que 2, 3, 5 et 7.

[Pseuda]

Oui, une différence de chiffres, quelque soit la façon dont on les prend, sera toujours inférieure, même en valeur absolue, à la somme des mêmes chiffres, sauf s'il y a un 0 dedans.

[anthony_unac]

En notant un nombre sous la forme

Les contraintes de ce problème peuvent se résumer ainsi :
****************************************************************


Il est clair que si au moins un des chiffres qui compose l'entier est nul alors l'égalité ci dessus est fausse sauf pour qui n'est pas un nombre premier.

[lulu math discovering]

Plus simplement, en notant a le premier chiffre et B la somme de tous les chiffres suivants, on a :
a+B=|a-B|
<=>a+B=a-B ou a+B=B-a
<=>B=-B ou a=-a
<=>B=0 ou a=0
<=>le nombre n'a qu'un chiffre ou le premier chiffre du nombre est égal à 0
<=>le nombre n'a qu'un chiffre ou le nombre est égal à 0

Donc S={2,3,5,7}

[anthony_unac]

Messieurs Dames, il me semble que nous avons fait le tour de ce problème sorti du chapeau ce matin même au réveil et qui nous conduit finalement à une solution simple et à la fois décevante au sens ou on ne lutte pas suffisamment pour parvenir au résultat.
Peut être qu'en abandonnant la contrainte de la soustraction ou de l'addition (une des deux), on obtiendrait un problème bien plus intéressant