Fonction

[overlord321321321213]

Pouvez vous maider a resoudre cet exercice
Soit f une fonction numérique définit de R *+ à R
Quelque soit x,y appartenant à R on a :
f(x).f(y)-f( xy)=(x/y)+(y/x)
Calculer f(2)



Merci d'avance

[zygomatique]

salut

x = y = 1 => f(1)² - f(1) - 2 = 0 <=> f(1) = -1 ou f(1) = 2

f(1)f(2) - f(1*2) = 1/2 + 2/1 <=> f(2)[f(1) - 1] = 5/2

...

[zygomatique]

on peur remarquer aussi que :

f(x)f(1) - f(x) = x + 1/x
f(1/x)f(1) - f(1/x) = 1/x + x

par soustraction :: [f(x) - f(1/x)][f(1) - 1] = 0

or f(1) <> 1 donc f(x) = f(1/x)



f(x)f(y) - f(xy) = x/y + y/x <=> [xf(x)][yf(y)] - [xyf(xy)] = x² + y²

en posant g(x) = xf(x) on a donc g(x)g(y) - g(xy) = x² + y² et g(1) = f(1)

alors avec y = 1 on a :: g(x)g(1) - g(x) = x² + 1 <=> g(x)[g(1) - 1] = x² + 1

[overlord321321321213]

Merci