Travaux Dirigés de Géométrie (Seconde)

[Cynimal]

Bonjour à tous,

Mon professeur a donné à notre classe l'exercice suivant:

On a un parc rectangulaire ayant pour longueurs 5 et 10.
On imagine qu'un chemin ayant pour largeur 2 (correspondant à la longueur FE) traverse ce rectangle (comme represénté ci dessous)



La droite (DE) est perpendiculaire à (GH) et (AC)

On veut calculer l'aire du chemin (le trapèze GHCA)

Je souhaiterais que vous m'indiquiez par où je devrais commencer. J'ai essayé avec Thalès, Pythagore et Agrandissement/ réduction , mais aucun calcul n'a été concluant.

Voilà ce que j'ai déjà calculé, en commençant par le plus évident:
= 50
AC = 5
= =
AG = 2 HC

Je me dis que le plus simple serait de calculer DG et DH afin de calculer l'aire du trapèze à partir des triangles ABC et GDH, mais c'est là que je me vois obligé de vous demander des conseils.

Merci d'avance, et bonne journée.

[Lostounet]

Salut,

On a bien EF=2 non?

Tan(CAB)=1/2

Donc tan(DAE) = tan(pi/2 - CAB) = sin(pi/2 - CAB)/cos(pi/2-x)

= cos(CAB)/sin(CAB)=1/tan(CAB)=2

DAE=tan^-1(2)


Sin(DAE)=sin(tan^-1(2)) =DE/5

Cela permet de calculer DE et donc DF

En constatant que:

GH/AC=DG/DA

Et que DG/DA=DF/DE

Donc GH=AC*DF/DE

Ce qui te permet de calculer GH (sauf erreur).

En attendant je cherche plus simple (et il y a surement plus simple avec les triangles semblables)

[Manny06]

connais-tu la longueur FE ?

[Cynimal]

En effet, FE = 2, j'aurais du être plus clair.

Merci Lostounet pour votre réponse, je n'avais pas pensé à la trigonométrie, mais la démarche me semble plus compliquée que celle que le professeur aurait voulu de notre classe (nous n'avons pas revu tan(x) depuis deux ans).
N'est il pas possible de faire un système grâce au théorème de Thalès? Sinon, la trigonométrie est-elle le seul moyen de résoudre la question donnée?

[Lostounet]

Un peu plus efficace en utilisant les relations métriques

On trouve DF


Ce qui débloque GH immédiatement: GH=AC*DF/DE = AC*DF/(DF+2)

Ps.: J'ai utilisé la relation métrique 6 dans ce document: http://iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard.Eg ... CLE/1H.pdf

qui explique comment l'obtenir

[Cynimal]

Ça signifie aussi que j'ai pas du tout le niveau pour comprendre entièrement votre démonstration ^^
Pour que vous puissiez comprendre, en Seconde on n'a revu que brièvement la trigonométrie, et j'ai jamais entendu parler de relations métriques. Vous comprendrez donc que je ne peux présenter aucune de ces méthodes lors de la correction en classe (bien que je sois heureux de découvrir l'existence des relations métriques)

N'y a t-il aucun moyen d'aborder cet exercice avec une méthode "primitive" ?

Merci

[Lostounet]

Ok

Aire(ADC) = 25

Aire(ADC) = DE*AC/2 = DE*5V5/2

DE = 50/(5√5) = 2√5

En constatant que:

GH/AC=DG/DA (thales)

Et que DG/DA=DF/DE (thales)

Donc GH/AC=DF/DE

donc GH = AC*DF/DE

[Cynimal]

Je viens d'utiliser cette méthode et m'a donné pour aire du trapèze 10 -5.
Merci beaucoup pour votre aide en tout cas, c'est très aimable de votre part d'avoir pris le temps de simplifier par deux fois votre démonstration avant que je comprenne

[Lostounet]

J'ai trouvé la même chose que toi !

Bonne chance à toi et bienvenue sur Maths-forum

[siger]

Bonjour

en ecrivant de deux manieres l'aire du triangle ADC on obtient
aire(ADC) = AD*DC/2 = DE*AC/*2
ce qui conduit a determiner DE .....
connaissant DE et EF on peut calculer DF et par suite DE/DF
a partir des paralleles AC et GH coupéees par les secantes DA, DE et DC on obtient
DG/DA= DH/DC = DE/DF = a
et
aire (DGH) = aire (DAC)*a² (sauf erreur), d'ou ........