Solution d'une operation

[yohabach]

Bonjour
slvp...quelle est la solution de 111^222+222^111
car la calc ne peut pas donner le résultat?

[yohabach]

Bonjour
slvp...quelle est la solution de 111^222+222^111

[Lostounet]

Très intéressant...

111^222+222^111
=

115266018114649057737078654073038112026135629678474666
6382895439851409683022626130841097982139098232315328038
8103704741805872385020551651091143800376734005386587541
8630592892480022225408592867565488496510554329425002399
2947582013947356270295238122260021948325572092235749964
4298584066704579550577345195226197931164071493372278558
5379288428354759118305065550769190654663441143467905539
358164692777952155454909808178229384909848469909392424
95942809480839649

[yohabach]

thnx frero
mais comment tu peux le calculer? par exeple ceci
333^222+222^333

[Lostounet]

Il suffit de multiplier 333 par lui-même 222 fois

Ou bien tu peux utiliser une calculatrice forte ou un logiciel de calcul num:
https://thenerdshow.com/calculator.html (online)

[yohabach]

oui je sais
mais je veux une méthode pour siplifier a formule
et merci

[Lostounet]

oui je sais
mais je veux une méthode pour siplifier a formule
et merci

Bah c'est pas une formule que tu me donnes, c'est des calculs astronomiques. Donc le plus simple que je puisse te donner, c'est le résultat du calcul...

En gros tu cherches une formule "simple" pour calculer
Que veux-tu de plus simple qu'une petite somme et deux exposants

Tu t'es réveillé au milieu de la nuit et tu t'es dit j'ai besoin de 333^222 + 222^333 ou est-ce que tu veux quelque chose de particulier sur ce nombre (diviseurs, congruences... )?

[yohabach]

OUI exactement
je veux une autre écriture de a^b+b^a
pour calculer l'opération que j'ai
mais je ne veux pas un résultat direct
mai un analyse et une simplification de l'opération
pour je peux obtenir la solution méthode pa méthode
et merci d'avance
pardon pour mon fracais

[Ben314]

Et si je te demandais, à un niveau plus élémentaire, de répondre à cette question :
Je voudrais une autre écriture pour 3+2, mais pas le résultat direct, mais une analyse et simplification de l'opération pour obtenir la solution.
Tu répondrais quoi ?

[aymanemaysae]

Voici une autre écriture de :

,

mais pour y voir plus clair, pouvez-vous donner le contexte de votre question?

[zygomatique]

salut

et une autre ....

[anthony_unac]

Bonsoir,

Cette discussion me rappelle le problème suivant :
Résoudre dans IN²
sachant que

[anthony_unac]

oui je sais
mais je veux une méthode pour siplifier a formule
et merci

La formule générale pourrait être la suivante :



Malheureusement, je ne vois pas de simplification efficace à apporter à cette expression. C'est particulièrement le deuxième terme de cette somme qui pose des soucis. J'ai essayé d'en tirer quelquechose en utilisant le binôme de Newton sur le morceau mais ça n'aboutit à rien de miraculeux

[yohabach]

Voici une autre écriture de :

,

mais pour y voir plus clair, pouvez-vous donner le contexte de votre question?

c'est le contexte frere
quel est le rest de division
DE
(222^333+333^222)/5

[yohabach]

merci à tous
c'est le contexte de ma question

et c'est pourquoi je veux de simplification de cette operation


quel est le reste de division
DE
(222^333+333^222)/5

[Lostounet]

Tu connais les congruences?
222 = 2 (mod 5)

222^4 = 1 [5] donc (222^4)^83 = 1^83 [5]
222^332 = 1 [5] donc:
222^333 = 2 (mod 5)

De même:
333^220 = 1 [5]
333^222 = 4 [5]

Finalement, 222^333 + 333^222 = 1 [5] et le reste vaut donc 1

[yohabach]

non je ne connais pas ça
est que tu peux m'aider à propos du congruences?

[Lostounet]

non je ne connais pas ça
est que tu peux m'aider à propos du congruences?

Ben tu fais par récurrence de proche en proche alors.... Pas vraiment propre ni rigoureux mais bon:

222^4 = 2428912656 = 5*485782531 + 1
On a un reste qui vaut 1, ton but c'est de montrer que l'entier: (222^4)^n (pour tout n entier naturel) aura pour reste "1" lorsque tu le divises par 5.

(222^4)^2 = (5*485782531 + 1)^2 = 5*quelque chose + 1
...
...
Tu élèves à la puissance 83:

(222^4)^83 = 5*chose + 1

Donc 222^332 = 5*chose + 1 Multiplions par 222 les 2 membres:
222^333 = (5*44 + 2) * 222^332 = 5*44*222^332 + 2*222^332 = 5*(plusieurs choses) + 2

Tu travailles pareil avec 333^222 pour montrer que tu as un reste de 4

Désolé si c'est trop brouillon, regarde ici http://math.unice.fr/~walter/L1_Arith/cours3.pdf
c'est pratique les congruences

[yohabach]

Merci bcp frere
DONE