Développement limité en un point a

[JaiUneQuestion]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment faire un développement limité en un point a, à partir des DL usuels en 0.
J'ai beau chercher, je ne trouve pas de cours à ce propos que je comprends.

Un peu d'aide ?
Merci beaucoup !

[capitaine nuggets]

Salut !

Le mieux serait que tu nous donnes un exemple concret d'endroit où tu bloques.
Les DL en un point a sont obtenus comme translation des DL en point 0.
Par exemple, un DL en 0 d'ordre 2 de l'exponentielle est : donc un DL en a d'ordre 2 de l'exponentielle est : .

[JaiUneQuestion]

Salut,

Un exemple : en 1 à l'ordre 3.

Par ailleurs :
Quand on demande de trouver une limite en d'une fonction f, je suppose qu'il faille faire le DL en , puis en faire la limite quand x tend vers . Mais, je ne sais pas faire de DL en .

[capitaine nuggets]

Les DL ne sont se font uniquement au voisinage d'un point fini : pas au voisinage de l'infini.

Pour ton exemple, tu fais un DL en 0 à l'ordre 3, puis tu "translates" d'une unité pour avoir ton DL en 1 à l'ordre 3.

Quel est le DL en 0 à l'ordre 3 de ton quotient ? Si j'appelle f(x) ce DL en 0 à l'ordre 3, le DL en 1 à l'ordre 3 sera f(x-1).

[samoufar]

Salut,

Personnellement, je trouve que pour faire un DL de en , le mieux est de poser une nouvelle variable et de faire un développement limité en pour la variable cette fois-ci.

Dans ton exemple, tu peux te ramener au DL de au voisinage de (en remarquant notamment que ).

En remplaçant ensuite par tu obtiens ton DL en

[JaiUneQuestion]

Ok merci à vous deux !
Je pense avoir compris le principe, je m'entrainerai demain avec quelques exemples.

Et pour déterminer une limite en avec les DL on fait comment ?

[samoufar]

Par définition les DL se font au voisinage d'un point fini et sont des développements locaux. Par conséquent il n'est pas possible d'obtenir une limite en à l'aide de DL. Pour cela on utilise des équivalents.

Edit : En posant on peut se ramener au voisinage de . Néanmoins aux infinis on parle plus de DA (asymptotique) que de DL. Il faut aussi veiller au signe de .

[Kolis]

Pour tu fais un développement limité pour la variable au voisinage de

[zygomatique]

salut

f(x) = ln(1 + x)/x²

posons x = 1 + y donc x --> 1 <=> y --> 0

g(y) = f(x) = ln(2 + y)(1 + y)²

faire un dl de f en 1 à l'ordre n <=> faire un dl de g en 0 à l'ordre n

puis remplacer y par x - 1 dans le dl de g en 0

[JaiUneQuestion]

Merci pour vos réponses.

Et pour une question de ce type, quelles sont les étapes ?

Rechercher les asymptotes au graphe de la fonction g définie sur R⋆ par

[zygomatique]

lim exp(1/x) = 1 quand x --> +-oo donc en +-oo donc asymptote d'équation y = x/2 + b

posons h = 1/x alors x --> +-oo <=> h --> 0

exp(h) = 1 + h + h²/2 + o(h²)

1/(1 + exp h) = (1/2) * 1/[1 + h/2 + h²/4 + o(h²)] = (1/2)[1 - h/2 - h²/4 + o(h)] = (1/2)[1 - 1/2x - 1/4x² + o(1/x²)]

et en multipliant par x : g(x) = (1/2)[x - 1/2 - 1/4x + o(1/x)]

....

[Pseuda]

Salut !

Le mieux serait que tu nous donnes un exemple concret d'endroit où tu bloques.
Les DL en un point a sont obtenus comme translation des DL en point 0.
Par exemple, un DL en 0 d'ordre 2 de l'exponentielle est : donc un DL en a d'ordre 2 de l'exponentielle est : .

@capitaine nuggets
Il me semble que le DL en a à l'ordre 2 de l'exponentielle de x est : ? Quand x tend vers a, tend vers .

[zygomatique]

oui l'exponentielle possède ces deux propriétés intéressantes que :

elle est sa dérivée
l'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles

donc :

quand x tend vers a alors h = x - a tend vers 0 donc un dl de exp (x) quand x tend vers a s'obtient par produit du dl de exp (h) en 0 par exp (a) puisque




et il manque un facteur 1/2 dans vos dl ....

[Pseuda]

Oh oui, c'est : .