Dérivabilité

[enya]

Bonsoir,
en ce moment je tente de faire un exercice sur la dérivation, mais je m'y perd totalement.
Voici l'énoncé : f(x)= (1-x)racine de(x²-1)
1 - Quel est l'ensemble de définition de f ?
J'ai trouvé Df = ]-l'infini ; -1 ] U [ 1 ; +l'infini [
(jusqu'ici je pense que c'est correct)

2 - Etudier la dérivabilité de f en 1
Donc ma démarche a été de calculer le taux de variation de f entre x et 1 , soit : ( f(x) - f(1) ) / (x-1)
Je trouve donc que ce taux de variation équivaut à -racine de(x²-1)
J'étudie ensuite la limite de ce taux de variation lorsque x tend vers 1 et je trouve 0 . 0 appartient à R (nombres réels) donc f est dérivable en 1.

Le gros hic vient maintenant , lorsque je calcule la dérivée de f je trouve : (-2x²+x+1)/ ( racine de(x²-1)
On voit donc que f n'est pas dérivable en un lorsque l'on remplace x par 1 dans le calcul de la dérivée. :hein: Voilà le probleme !! Ai-je fais une erreur ??? Je ne comprends vraiment rien et tourne en rond ....
Si une âme charitable pouvait me venir en aide :help:

[matteo182]

Salut,
Tous tes calculs sont justes.
Ta fonction f est effectivement dérivable en 1 et la limite du taux de variation est 0 et donc f'(1) =0.
Le calcul de la dérivée ne permet pas de montrer la dérivabilité ou non de la fonction.
Si la limite de ton taux de variation existe lorsque x tend vers , alors ta fonction est dérivable en ce point et cette limite vaut f'().

[enya]

Merci de ta réponse,
ça me semble tout de même étrange que lorsque je fais : f'(1) = ( -2x²+x+1 ) / racine de(x²-1) ça ne fonctionne pas ...
Je devrait retrouver 0 logiquement non ? Puisqu'avec le taux de variation j'ai trouvé f'(1) = 0

Mystère à résoudre .... Qu'en penses-tu ?

[rene38]

Bonjour

Pour on a bien
et si on remplace x par 1, on obtient une forme indéterminée
Mais pour supérieur à 1 (les valeurs inférieures à -1 ne nous intéressent pas ici),

dont la limite en 1 est bien 0.
D'où la continuité de en 1 à droite.