Fonctions holomorphes

[syrella]

bonsoir
j'ai pas bien compris un passage d'une preuve qui montre que l'ensemble des fonctions holomorphe est un anneau integre cad fg=0 implique f=0 ou g=0
soit Ω un domaine de C et f et g deux fonctions holomorphes
on suppose 1) f #0 donc ∃ k∈ Ω tq f(k)#0
implique que 2) ∃ r>0 tq ∀ z∈D(k,r), f(z)#0
or on a f(z)g(z)=0 dou g()=0 ∀ z∈D(k,r)
d'ou r=0 syr D(k,r) d'apres theoreme des zero isolé ona g=0
le passage de 1 a 2 que je n'ai pas bien compris

[Lostounet]

Cela ressemble à une démonstration par l'absurde. Je vais essayer !
Tu veux prouver que fg identiquement nulle implique f = 0 (identiquement nulle) ou g = 0

Donc supposons que ni f, ni g n'est identiquement nulle et que fg l'est.

1. Puisque f est non identiquement nulle, il existe k complexe du domaine (ouvert et connexe) tel que f(k) soit non nul. Donc f est non nulle sur un voisinage du point k par holomorphie, donc ∃ r>0 tq ∀ z∈D(k,r), f(z)#0

2. Puisque fg = 0 , on a en tout point z de D(k; r), f(z)*g(z) = 0 qui implique que g(z) = 0 pour tout z du disque D(k;r) par intégrité de l'anneau des nombres complexes. En effet si u et v sont deux complexes tels que uv = 0 avec u non nul, alors v nul. Ici on sait que f(z) est non nul, donc g(z) l'est obligé.

3. Une fonction holomorphe g a ses zéros isolés, donc soit elle est identiquement nulle, soit elle s'annule en juste un petit point. Donc g est identiquement nulle, contradiction

Donc fg = 0 implique f = 0 ou g = 0

Ps; Attention à la connexité de ton truc, tu peux avoir deux composantes D1 et D2 non connexes d'un même ouvert avec f = 0 sur D1 et jamais nulle sur D2 et g = 0 sur D2 et jamais sur D1 avec fg = 0 partout mais pas f ni g.

[zygomatique]

salut

inutile de raisonner ainsi en supposant f et g non identiquement nulles ... puisqu'on veut montrer qu'il y en a au moins une : c'est un faux raisonnement par l'absurde : l'absurde est crée artificiellement

ce qu'on veut démontrer (sur le domaine donné) :

donc l'idée c'est de démontrer que si l'une des fonctions n'est pas identiquement nulle alors c'est que c'est l'autre ....

donc ce qu'on démontre c'est :

donc on suppose qu'il existe a tel que f(a) <> 0

puisque f est continue car holomorphe alors il existe disque D(a, r) tel que pour tout z dans ce disque f(z) <> 0

or dans ce disque fg(z) = 0 donc g(z) = 0 dans ce disque et le principe des zéros isolés permet de conclure ...

REM : fg(z) = 0 signifie bien sur f(z)g(z) = 0



...

[syrella]

Merci infiniment pour ces précisions maintant j'ai bien compris la démarche de la preuve