Etude de fonction

[Myreage]

J'ai ici un exercice que je tourne dans tous les sens depuis quelques heures et je n'aboutis toujours pas...

Soit , f:[0,1] -> C dérivable avec f(0) = 0 et:

Pour tout x dans [0,1],

Montrer que si f est réelle positive, f = 0

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Intuitivement bien sûr, on a f'(0) = f(0) = 0 et donc "à droite" de 0 on a f(0+) = 0 également, résultat qu'on peut propager sur [0,1].

Rigoureusement cependant, je ne trouve rien.
Le caractère lipschitzien ou les accroissements finis ont surement un rôle à jouer mais je n'aboutis pas.

[Ben314]

Salut,
Si f est réelle positive, cela signifie qu'en fait, pour tout tu as .
Ce qu'on peut éventuellement songer à écrire sous la forme :



Je te laisse finir...

[Myreage]

On en déduit que:



?

[adamNIDO]

cela montre que est décroissante et est croissante , ces deux fonctions sont nulle quand ainsi on deduit que

[Myreage]

Je trouve en réalité, en intégrant:




et avec la condition f(0) = 0 on obtient k=0
et ainsi,




d'où f=0

Merci !