Base du noyau

[magyy]

Bonsoir,
je bloque sur cet exo:
Soit f: R^3----->R
x----->2x1+x2-x3
Determiner la dimension de Kerf.
je sais que pour obtenir la dimension, il faut avoir une base, mais je ne sais pas comment obtenir une base du noyau.
Merci d'avance!

[sylvainc2]

Tu as l'équation 2x1 + x2 - x3 = 0. Donc 1 équation à 3 variables. Combien y a-t-il de variables libres (qui peuvent prendre n'importe valeur dans R) ? Le nombre de variables libres est la dimension du noyau.

Tu peux aussi te servir du théoreme qui dit: rang(f) + dim(ker(f)) = dim(R^3). Donc tu dois savoir le rang et la valeur de dim(R^3).

[magyy]

je pensais qu'il fallait trouver dans le noyau une famille et montrer qu'elle est libre et génératrice?

[zygomatique]

salut

je sais que pour obtenir la dimension, il faut avoir une base, mais je ne sais pas comment obtenir une base du noyau.

non ... on peut ...

le théorème du rang ici convient ...

f n'est pas identiquement nul donc Im(f) = ... ? donc rg (f) = Dim Im (f) = ....?

sinon : f(x, y, z) = 0 <=> 2x + y - z = 0 <=> z = 2x + y

donc f(x, y, z) = 0 <=> (x, y, z) = (x, y, 2x + y) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 1)

donc Ker f = <(1, 0, 2), (0, 1, 1)> ... et ce système générateur est trivialement libre ...

[magyy]

D'accord!merci!