Réduction de jordan

[Crazyfrog]

Bonsoir, je dois trouver la base de jordan pour mettre sous forme de jordan la matrcie:


le polynôme caractéristique est: (x-3)^3
le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est le plan composé des vecteurs (-1,1,0) et (0,0,1)
je choisis des vecteurs propres orthogonaux entre eux: soit (-1,1,0) et (0,0,1) pour former les deux premiers vecteurs de la base de Jordan.
comme la valeur propre 3 est de multiplicité 3 et que le sous espace associé est de dimension 2, je calcule
Ker((a-I3)^2) mais (a-I3)^2=0
donc j'ai cherché un vecteur v=(x,y,z) tel que
=un vecteur propre
mais je me retrouve avec des systèmes impossibles du genre
=
Si quelqu'un peut m'expliquer la méthode pour trouver la base de jordan ce serait gentil

[Ben314]

Salut,
Déjà, tu ne cherche pas LA base de Jordan mais UNE base de Jordan.
Ensuite, vu que tu connait la forme que va avoir la matrice de Jordan "en bloc", ce qu'il te faut, c'est e1, e2, e3 tels que :
(f-3.Id)(e1)=0
(f-3.Id)(e2)=e1
(f-3.Id)(e3)=0
Et tu as tout intérêt à commencer par choisir e2 (n'importe quel vecteur qui n'est pas dans Ker(f-3.Id)) ce qui ensuite ne te laisse pas le choix pour e1. Tu prend ensuite pour e3 un vecteur quelconque de Ker(f-3.Id) qui ne soit pas colinéaire à e1 pour que (e1,e3) forme une base de Ker(f-3.Id).

Et ça n'a pas trop de sens de prendre des vecteurs "orthogonaux" vu qu'à priori, tu est dans un espace vectoriel "simple" (i.e. sans produit scalaire).

[Crazyfrog]

Salut,
Déjà, tu ne cherche pas LA base de Jordan mais UNE base de Jordan.
Ensuite, vu que tu connait la forme que va avoir la matrice de Jordan "en bloc", ce qu'il te faut, c'est e1, e2, e3 tels que :
(f-3.Id)(e1)=0
(f-3.Id)(e2)=e1
(f-3.Id)(e3)=0
Et tu as tout intérêt à commencer par choisir e2 (n'importe quel vecteur qui n'est pas dans Ker(f-3.Id)) ce qui ensuite ne te laisse pas le choix pour e1. Tu prend ensuite pour e3 un vecteur quelconque de Ker(f-3.Id) qui ne soit pas colinéaire à e1 pour que (e1,e3) forme une base de Ker(f-3.Id).

Et ça n'a pas trop de sens de prendre des vecteurs "orthogonaux" vu qu'à priori, tu est dans un espace vectoriel "simple" (i.e. sans produit scalaire).

je ne comprends pas très bien, que représentent f, e1, e2 et e3?

[Ben314]

f c'est l'endomorphisme associé à ta matrice A, c'est à dire l'application X->AX (dans la base canonique).
et (e1,e2,e3), c'est la base que tu cherche, pardi !

[sylvainc2]

Crazyfrog:

quand tu essaies de résoudre (A-3I)e2 = e1, où e1 est le vecteur propre que tu as choisi, il faut évidemment que e1 soit dans Im(A-3I). Ce n'est pas toujours garanti d'être le cas. Ici justement, e1=(1,-1,0) ne l'est pas, donc tu dois prendre un autre e1, le seul possible ici (à un multiple près) est e1=(1,-1,1) car il est bien dans Im(A-3I) puisque c'est (1,-1,0) + (0,0,1). Donc fait les calculs avec ce vecteur.

[Crazyfrog]

Crazyfrog:

quand tu essaies de résoudre (A-3I)e2 = e1, où e1 est le vecteur propre que tu as choisi, il faut évidemment que e1 soit dans Im(A-3I). Ce n'est pas toujours garanti d'être le cas. Ici justement, e1=(1,-1,0) ne l'est pas, donc tu dois prendre un autre e1, le seul possible ici (à un multiple près) est e1=(1,-1,1) car il est bien dans Im(A-3I) puisque c'est (1,-1,0) + (0,0,1). Donc fait les calculs avec ce vecteur.

merci de ta réponse,
=
je trouve le plan formé par les vecteurs x(1,0,0) + y(0,0,1)
je choisis (1,0,0) pour compléter ma base de jordan parce que (0,0,1) est déjà dans ma base
mais après calcul avec p la matrice de passage
et son inverse p^-1=
p^-1.a.p=

[sylvainc2]

Essaie avec P=
1 1 0
-1 0 0
1 0 1

Dans la 1ere colonne il faut utiliser le vecteur propre e1=(1,-1,1) que tu as pris pour résoudre (A-3I)e2 = e1 et trouver e2=(1,0,0) qu'on place dans la colonne 2 (ces deux vecteurs vont toujours dans des colonnes adjacentes). Ensuite on met l'autre vecteur propre e3=(0,0,1) dans la colonne 3.