Classe d'équivalence

[Ncdk]

Bonjour,

Je n'ai pas très bien compris la notion de classe d'équivalence.

J'ai compris ce que c'était une relation d'équivalence, ça il y a aucun problème, mais je comprends pas ce que c'est une classe d'équivalence, j'ai fait des exercices, sans soucis pour appliquer les définitions, les propriétés, mais je n'arrive pas à bien comprendre le sens de cette notion.

Si vous avez des liens qui expliquent bien, qui vulgarise un peu cette notion ça m'aiderait fortement

Merci d'avance

[lionel52]

Une classe d'équivalence en gros c'est l'ensemble des x qui vérifient une même propriété (la relation d'équivalence)

On regroupe par paquets (en classe d'équivalence) ces éléments et souvent on travaille sur ces classes et non pas sur les éléments eux même.

Par exemple si f et g sont des fonctions de [0,1] si f ~ g équivaut à f(x) = g(x) pour x € ]0,1]
Bah la classe d'équivalence de f c'est l'ensemble des fonctions g qui sont égales à f en chaque point sauf en 0.
Ca a l'air de rien mais très souvent travailler sur l'ensemble des classes d'équivalence nous fait travailler sur un ensemble avec de meilleures propriétés que l'ensemble d'origine

[Ncdk]

D'accord, donc une relation d'équivalence sur un ensemble ça nous permet de garder certains éléments et d'en faire un nouvel ensemble (Cette ensemble c'est les classes d'équivalences). Cet ensemble est une partition si je dis pas de bêtises.

Quel est le lien avec l'ensemble quotient ? Mais surtout quel est son intérêt à cet ensemble quotient ?

[lionel52]

Bof bof

Une classe d'équivalence ça relie tous les éléments ayant la même propriété. Donc ce sont les éléments de base que l'on regroupe par paquets.

L'ensemble quotient c'est l'ensemble des classes d'équivalence.

Un autre exemple simple : On dit que a ~ b si a-b est divisible par 2016 (congruence modulo 2016)
L'ensemble quotient est noté Z/2016 il est composés des classes d'équivalence 0*, 1*,...,2015*
Sur l'ensemble quotient :
2015* + 1* = 0* par exemple, si t'as fait un peu d'arithmétique!

Et à quoi ça sert? Si on s'intéresse à la divisibilité par 2016 on s'en fout que le nombre soit 5412644444412 on préférera travailler avec des nombres plus simples

[Ncdk]

D'accord, c'est plus claire oui.

Par contre pour les ensembles quotients, au niveau de l'arithmétique c'est pas un soucis, mais quand on touche à des fonctions, voir ce que c'est l'ensemble quotient, c'est un peu spécial, enfin j'ai du mal à voir des congruences avec des fonctions, des matrices par exemple, ça me parait moins naturel

[lionel52]

quand on touche à des fonctions, voir ce que c'est l'ensemble quotient

Bah j'en sais rien ce que c'est l'ensemble quotient pour des fonctions... Il faut se donner une relation d'équivalence à la base...
Les relations suivantes sont par exemple des relations d'équivalence sur les fonctions





(bon quand les objets sont bien définis bien évidemment)
etc.

[zygomatique]

salut

un exemple trigonométrique classique : l'argument d'un complexe est une classe d'équivalence ....

un exemple géométrique classique : un vecteur est une classe d'équivalence .... pour la relation d'équipollence des bipoints du plan : les bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents <=> les segments [AD] et [BC] ont même milieu ....

[Ncdk]

D'accord et pour ton tout premier exemple, tu as donné un exemple de relation d'équivalence, ça serait quoi les éléments de l'ensemble quotient ?

[zygomatique]

à qui demandes-tu ?

[Ncdk]

C'était pour lionel, dans son premier message.

Merci pour les exemples, je viens de les voir, en fait les relations d'équivalences il en existe pas mal, notamment sur les notions que l'on voit au lycée par exemple, j'avais pas fait le rapprochement

[zygomatique]

un autre exemple géométrique classique : la relation "être parallèle" pour les droites du plan ....

tu en veux un exemple très généraliste

sur R* soit f la fonction définie par f(x) = x/|x| et on considère la relation R pour x et y non nul : x R y <=> f(x) = f(y)

alors l'ensemble quotient est {cl(1), cl(-1)} mais c'est aussi {cl(3), cl(-2)} si tu veux ....

d'ailleurs tu peux prendre pour f la fonction que tu veux ...

[Ben314]

Salut,
Pour moi, le premier exemple vu de relation d'équivalence et d'ensemble quotient, ben c'est... celui des quotients qu'on voit au collège.

Tu vérifiera que, sur l'ensemble , la relation définie par :

est bien une relation d'équivalence et l'ensemble quotient , bien entendu, c'est (c'est même la définition de )