Loi minimum des uniformes

[Dd_ing]

Bonjour,
je suis nouveau sur le forum, et j'ai besoin de votre aide.
Soient U1 et U2 deux variables aleatoires iid d'une loi uniforme sur [0, 1]. On pose X = min(U1, U2) et Y = max(U1, U2).
que vaut E(X) et E(Y)?

peut être il y a une réponse évidente, mais j'ai du mal à la trouver .
je vous remercie d'avance.

[beagle]

............................................

[Dd_ing]

j'ai trouvé merci E(X) = I/3 et l'autre = 2/3

[beagle]

j'ai trouvé merci E(X) = I/3 et l'autre = 2/3

j'ai bien fait de ne pas expliquer!

[Dd_ing]

j'ai trouvé merci E(X) = I/3 et l'autre = 2/3

j'ai bien fait de ne pas expliquer!

Merci sinon j'ai une autre question dans la continuité de cet exercice, on me demande de calculer l'espérance de X sachant Y: E(X/Y).
je me suis bloqué dans le calcul de la densité jointe.
une idée pour m'aider?
Merci d'avance pour la r&ponse

[Ben314]

Salut,
Tu peut préciser ce que c'est que E(X sachant Y) ?
Autant je vois ce que pourrait être E(X sachant que Y appartient à ...), autant là, je vois pas ce que ça désigne.

[Dd_ing]

Salut,
Tu peut préciser ce que c'est que E(X sachant Y) ?
Autant je vois ce que pourrait être E(X sachant que Y appartient à ...), autant là, je vois pas ce que ça désigne.

Et sinon, c'est quoi la loi conjointe de X et Y ? (Sans la connaitre, tu risque pas de calculer quoi que ce soit...)

salut, en effet c'est tout ce que j'ai en énoncé. je n'ai pas la loi jointe non plus.
j'ai pensé à l'étudier avec les indicatrices: le cas U1>U2 et inversement. mais après je me rend compte que ça n'a pas de sens ;p.

[Dd_ing]

Salut,
Tu peut préciser ce que c'est que E(X sachant Y) ?
Autant je vois ce que pourrait être E(X sachant que Y appartient à ...), autant là, je vois pas ce que ça désigne.

Et sinon, c'est quoi la loi conjointe de X et Y ? (Sans la connaitre, tu risque pas de calculer quoi que ce soit...)

salut, en effet c'est tout ce que j'ai en énoncé. je n'ai pas la loi jointe non plus.
j'ai pensé à l'étudier avec les indicatrices: le cas U1>U2 et inversement. mais après je me rend compte que ça n'a pas de sens ;p.

[Ben314]

Concernant la loi jointe, c'est moi qui ait dit une c... : je supose que U1 et U2 sont supposées indépendantes et dans ce cas, on a la loi jointe de X=Min(U1,U2) et de Max(U1,U2).

Par contre, le E(X|Y), je vois pas trop ce que ça peut être.
Perso, j'aurais tendance à calculer un truc du style E(X|Y<b) en fonction de b (vu que ça je vois ce que ça signifie...) et ça doit sans doute être un truc du style...

[Ben314]

Concernant la loi jointe, c'est moi qui ait dit une c... : je supose que U1 et U2 sont supposées indépendantes et dans ce cas, on a la loi jointe de X=Min(U1,U2) et de Y=Max(U1,U2).

Par contre, le E(X|Y), je vois pas trop ce que ça peut être.
Perso, j'aurais tendance à calculer un truc du style E(X|Y<b) en fonction de b (vu que ça je vois ce que ça signifie...) et ça doit sans doute être un truc du style...

EDIT : sauf erreur, je trouve que E(X|Y<b) = b/3.

[Dd_ing]

Concernant la loi jointe, c'est moi qui ait dit une c... : je supose que U1 et U2 sont supposées indépendantes et dans ce cas, on a la loi jointe de X=Min(U1,U2) et de Y=Max(U1,U2).

Par contre, le E(X|Y), je vois pas trop ce que ça peut être.
Perso, j'aurais tendance à calculer un truc du style E(X|Y<b) en fonction de b (vu que ça je vois ce que ça signifie...) et ça doit sans doute être un truc du style...

EDIT : sauf erreur, je trouve que E(X|Y<b) = b/3.

oui effectivement U1 et U2 sont indépendantes, mais sa nous permet pas de trouver la loi jointe de X et Y si??
car X n'est pas forcément indépendantes de Y.

[Dd_ing]

Concernant la loi jointe, c'est moi qui ait dit une c... : je supose que U1 et U2 sont supposées indépendantes et dans ce cas, on a la loi jointe de X=Min(U1,U2) et de Y=Max(U1,U2).

Par contre, le E(X|Y), je vois pas trop ce que ça peut être.
Perso, j'aurais tendance à calculer un truc du style E(X|Y<b) en fonction de b (vu que ça je vois ce que ça signifie...) et ça doit sans doute être un truc du style...

EDIT : sauf erreur, je trouve que E(X|Y<b) = b/3.

oui effectivement U1 et U2 sont indépendantes, mais sa nous permet pas de trouver la loi jointe de X et Y si??
car X n'est pas forcément indépendantes de Y.

[Ben314]

Ah non, ça X et Y ne sont très clairement pas indépendantes vu que par définition même, on a systématiquement X<Y.
Mais ça n'empêche pas d'avoir la loi conjointe qui est la loi uniforme sur le triangle 0<x<y<1 ce qui permet aisément de calculer des truc du style E(X|Y<b).
L'autre méthode tout aussi simple, c'est de retraduire toutes les probas considérées en terme de U1 et de U2 : ça correspond à faire des dessins et à regarder l'aire de la partie de [0,1]² correspondant à la question.

[Dd_ing]

Ah non, ça X et Y ne sont très clairement pas indépendantes vu que par définition même, on a systématiquement X<Y.
Mais ça n'empêche pas d'avoir la loi conjointe qui est la loi uniforme sur le triangle 0<x<y<1 ce qui permet aisément de calculer des truc du style E(X|Y<b).
L'autre méthode tout aussi simple, c'est de retraduire toutes les probas considérées en terme de U1 et de U2 : ça correspond à faire des dessins et à regarder l'aire de la partie de [0,1]² correspondant à la question.

merci beaucoup pour les réponses

[beagle]

depuis le début je me prends les pieds dans la symétrie qs premier message erreur premier jour

bon alors j'aurai la moyenne divisé par 2, zut pas de bol

E(y)
je prends x (ou a de (a,b)
pour y j'ai une proba de (1-x) d'ètre en moyenne à x + (1-x)/2 = (x+1)/2 : (1-x)²/2
integrale de 0 à 1 de (1-x)²/2 = 1/3
faut remultiplier par deux pour 2/3

E(X)
je prends y (a de (a,b))
j'ai une proba de y d'avoir en moyenne y/2 , donc on a y²/2
integrale de 0 à 1 de y²/2 = 1/6
fois 2 = 1/3

pour E(X/ yinfb)
integrale de 0 à b de y²/2 = b^3/6
c'est à diviser = relativiser par la zone b² j'imagine donc que b^3/6b²= b/6
encore fois deux c'est pénible,

Cela peut ressembler à cela Ben314?

[Ben314]

Je suis pas sûr de bien comprendre comment tu fait, mais c'est les bon résultats.

Perso, pour calculer E(X|Y<b), ben je commence par calculer la loi de "X sachant que Y<b" en écrivant que, pour 0<a<b<1 :
p(X<a|Y<b) = p(X<a et Y<b) / p(Y<b)
Ensuite,
X<a <=> min(U1,U2)<a <=> (U1<a ou U2<a)
Y<b <=> max(U1,U2)<b <=> (U1<b et U2<b)
donc
p(X<a et Y<b) = p( (U1<a ou U2<a) et U1<b et U2<b )
p(Y<b) = p( U1<b et U2<b)
Puis je fait des dessins pour voir à quelles parties du carré [0,1]² ça correspond :
Le premier correspond au carré [0,b]^2 auquel enlève le carré [a,b]^2 donc l'aire est de b²-(b-a)²=2ab-a².
Le deuxième, c'est simplement le carré [0,b]² d'aire b².
Donc p(X<a|Y<b)=(2ab-a²)/b² : c'est la fonction de répartition (vue comme fonction de a qui est entre 0 et b) et la fonction de densité est la dérivée : f(a)=2(b-a)/b².
Enfin, l'espérance, c'est l'intégrale de 0 à b de a.f(a)da et ça donne b/3.
La fonction