Une suite de fonctions polynomiales

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Waax22951
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Une suite de fonctions polynomiales

par Waax22951 » 27 Avr 2016, 22:46

Bonsoir,
Je bute un peu sur une question de mon DM de maths, donc je demande de l'aide aux personnes du forum afin de pas y passer mes vacances ;)
Voici la question:

On définit par récurrence la suite de fonctions polynomiales par:
et

Montrer que:


J'ai essayé par récurrence mais ça ne donne pas grand chose, et sinon j'avoue que je ne vois pas vraiment comment avancer de façon judicieuse, sans tomber dans les grands calculs un peu bidons, qui ne mènent à rien..!

Merci d'avance et bonne soirée !



Doraki
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Re: Une suite de fonctions polynomiales

par Doraki » 27 Avr 2016, 23:13

une récurrence marche bien.

Waax22951
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Re: Une suite de fonctions polynomiales

par Waax22951 » 28 Avr 2016, 18:43

Ah bon ?
J'avoue que pour la minoration, ça marche plutôt bien, mais pour la majoration, je ne vois pas comment on fait... Je commence directement à l'itération:

On fixe
On a par hypothèse
Et c'est que je ne vois pas comment continuer: la seule majoration de est: et donc on obtient après calcul:

Et là ça suffit clairement pas pour conclure... Faut-il majorer au préalable ?

Bonne journée :)

Doraki
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Re: Une suite de fonctions polynomiales

par Doraki » 28 Avr 2016, 20:20

il ne faut pas minorer/majorer Pn et Pn² séparément.
Il faut étudier les variations de la fonction p -> p²/2-p sur [0;1] et minorer/majorer les deux d'un coup avec ça.

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zygomatique
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Re: Une suite de fonctions polynomiales

par zygomatique » 28 Avr 2016, 20:58

salut

une autre méthode ... :mrgreen:



l'hypothèse de récurrence permet de conclure que les deux (trois avec 1/2) facteurs sont positifs (avec 0 < x < 1) donc est positif ...

cette même hypothèse de récurrence permet de majorer par ::



(en espérant ne pas m'être trompé)

il suffit :mrgreen: alors de montrer que est positif sur [0, 1]
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Waax22951
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Re: Une suite de fonctions polynomiales

par Waax22951 » 29 Avr 2016, 15:24

Bonjour,
Doraki, j'avoue que je ne vois pas trop comment déterminer le sens de variation (P^2)/2-P sur [0, 1] en se servant de l'hypothèse de récurrence...
Par contre la solution de Zygomatique fonctionne, sauf erreur de ma part: on trouve après calculs un truc toujours positif pour !

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Ben314
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Re: Une suite de fonctions polynomiales

par Ben314 » 29 Avr 2016, 19:34

Waax22951 a écrit:Bonjour,
Doraki, j'avoue que je ne vois pas trop comment déterminer le sens de variation (P^2)/2-P sur [0, 1] en se servant de l'hypothèse de récurrence...
Par contre la solution de Zygomatique fonctionne, sauf erreur de ma part: on trouve après calculs un truc toujours positif pour !

Je vois franchement pas ce que tu comprend pas.
Et la méthode de Doraki me semble infiniment plus "logique", dans le sens qu'on a à réfléchir zéro secondes pour y penser :
Ton hypothèse de récurrence dit précisément qu'un certain réel p ( pour un n et un x fixé) est compris entre deux bornes A et B et ce que tu doit montrer pour valider la récurrence, c'est qu'un certain truc F(p) qui dépend de p (et de x et de n, mais ça tu t'en fout vu qu'ils sont fixés) est compris entre deux bornes A' et B'.
Il me semble que normalement, on apprend très tôt au Lycée que le bon outil pour démontrer ce genre de truc, ben c'est d'étudier les variations de la fonction F sur l'intervalle [A,B].
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Waax22951
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Re: Une suite de fonctions polynomiales

par Waax22951 » 29 Avr 2016, 20:34

Bonjour,
En fait j'avais tout simplement mal lu, l'ayant lu rapidement sur mon portable: j'avais compris qu'il fallait étudier . Je ne voyais clairement pas comment faire.
Après j'ai trouvé la réponse de Zygomatique plus claire car j'en avais fait une à peu près pareil, sans continuer le calcul, puisque pensant qu'il n'allait aboutir.

 

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