Exercice serie entiere 2

[Glo18]

Bonjour,

J'aurai besoin de vos lumiere concernant cet exo : soit la serie un = somme de x^(2n+1)/(n+1)(2n+1) de n = 0 jusqu'a l'infini
Trouver le rayon de convergence et le domaine
On pose un = f(x)
Expliquez pourquoi f est continue dans [-1 1]
Calculer f' puis deduire f

Ma solution :
Je trouve R = 1
X^2 <1 => x<1 converge
X^2 >1 => x>1 div
Pour x=1 converge car 1/(n+1)(2n+1) < 1/n^2 ( rieman )
Pour la 2eme question je ne sais pas comment proceder pour montrer la continuité
Pour la derniere question je ne vois pas a quoi elle rime ... Calculer f' pour deduire f alors qu'on la deja ?!
Merci

[zygomatique]

salut

un polynome est continue sur R ....

[Glo18]

Je vois, merci
Pour la derniere question as tu une idée de ce que veut dire l'exercice ?

[zygomatique]

On pose un = f(x)
Expliquez pourquoi f est continue dans [-1 1]
Calculer f' puis deduire f

revois ton énoncé .... peut-être ...

[Pythales]

, ce qui est plus sympa ...

[acteon]

salut

un polynome est continue sur R ....

attention, sans en dire plus, ceci est l'erreur à ne pas faire.
La continuité sur le "fermé de convergence" quand il existe, ici [-1,1], se montre, sauf théorème, en revenant aux séries de fonctions, en montrant la convergence uniforme. ici on montre que la série converge normalement sur [-1,1], et comme, en effet, chaque fonction f_n : x-->x^(2n+1)/(n+1)(2n+1) est continue sur [-1,1], la somme aussi.
Je crois qu'il ne faut "surtout pas" parler de continuité des polynômes, un polynôme n'est pas une série entière!
Sauf à revenir à la suite de fonctions des sommes partielles et montrer aussi la CVU, mais ce n'est pas comme ça qu'on fait en pratique avec une série entière.

[zygomatique]

oui j'avais mal lu l'énoncé et pas vu le "somme de" dans la définition de u_n ....

[Ben314]

...un polynôme n'est pas une série entière !

Ah bon ????
Moi j'aurais bien dit que c'était une série entière dont tout les termes sont nuls à partir d'un certain rang.

[acteon]

...au sens de "une série entière ou un polynôme, c'est pas pareil", "une série entière, ce n'est pas un polynôme"!/"un polynôme, ce n'est pas une série entière"...
Je suis d'accord cela aurait été plus clair d'écrire "un série entière n'est pas un polynôme", mais si on rentre dans les détails, la relation "être différent de" est symétrique!

[Ben314]

Ah, bon, ben c'est sympa de me prévenir vu que de mon temps l'inclusion n'était pas vraiment considérée comme une relation "symétrique"

Par exemple, à l'époque, on considérait que "Une série n'est pas (forcément) un polynôme" était une phrase parfaitement vraie, mais que par contre, "Un polynôme n'est pas (forcément) une série" était une phrase... parfaitement fausse...

Les temps évoluent...

[Glo18]

Bonjour,
Merci pour vos nombreuses reponses mais du coup comment repondre a la question ?

[Glori18]

petit up

[Pseuda]

Bonsoir,

Je vais essayer de t'aider. Tu dois calculer f'(x) avant de calculer f(x). Il faut donner une expression algébrique de f(x), ce qui n'a pas encore été fait.

f'(x)=somme de x^(2n)/(n+1), ce qui est plus sympa que f(x), comme dit Pythalès.

On a : x^(2n)/(n+1)=((x^2)^n)/(n+1). On est ramené (en remplaçant x² par x) à calculer la somme de n=0 à +oo de x^n/(n+1)=(1/x)*x^(n+1)/(n+1). On est ramené à calculer la somme de n=0 à +oo de x^(n+1)/(n+1). Avec une autre dérivation, on obtient : x^n, dont on sait faire la somme (suite géométrique).

[Glori18]

Merci pour ta réponse pseuda, je suppose que tu parles de la dernière question dont je n'ai pas encore saisie le sens ^^ je vais essayer de revoir ce que tu dis sur papier.

Sinon pour la question concernant la continuité, comment répondre ?

[zygomatique]

la série est uniformément convergente (car normalement convergente) vers sa limite ...

c'est une somme de fonctions continues donc sa limite est continue ....

[Pseuda]

Merci pour ta réponse pseuda, je suppose que tu parles de la dernière question dont je n'ai pas encore saisie le sens ^^ je vais essayer de revoir ce que tu dis sur papier.

Sinon pour la question concernant la continuité, comment répondre ?

Bonsoir,

Il faut montrer que la série de fonctions converge uniformément, par exemple, en montrant que chaque fonction est 1/2n² sur [-1 ; 1] pour tout n, et que cette dernière série est convergente.

Puis, f(x) est la somme d'une série de fonctions uniformément convergentes, et chacune des fonctions est continue, donc f(x) est continue.

Mon message précédent est en effet le calcul de f(x).

[Glori18]

Bonjour, désolé pour ma réponse tardive,

Je pense avoir compris, merci