Trigonométrie

[Helpmeplease13]

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour ce dm, voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=e^(-x)*cos(x+pi/4)

1) Emettre des conjectures sur le sens de variation de la fonction f sur [0;pi]
Réponse : f décroissante sur [0;pi/2] et croissante sur [pi/2;pi]

2)a)Justifier que pour tout réel x, -e^(-x)<f(x)<e^(-x)
Réponse : -1<cos<1
-1<cos(x+pi/4)<1
-e^(-x)<e^(-x)*cos(x+pi/4)<e^(-x) car e^(-x)>0

b)Déterminer la limite de f en +inf
Réponse : lim e^(-x) =0 et lim cos(x+pi/4)=0 quand x->+inf
donc lim f(x)=0 quand x-->+inf

A partir de maintenant, je n'y arrive plus :

3)a)Montrer que pour tout réel t, cos(t+pi/4)+sin(t+pi/4)=racine2*cos*t

b) en déduire que pour tout réel x, f'(x)=-racine2*e^(-x)*cosx

c)Déterminer le sens de variation de f sur [0;pi]

4) Les courbes Cf et r d'équation y=f(x) et y=e^(-x) ont-elles la même tangente en chacun de leurs points communs.

Merci de votre aide !

[Carpate]

Tu as écrit :

-1<cos(x+pi/4)<1

Comment peux-tu en déduire que :

lim cos(x+pi/4)=0 quand x->+inf

Que donne le produit d'une fonction tendant vers 0 et d'une fonction bornée (en + in fini) ?

[Helpmeplease13]

Cela donne +inf

[Carpate]

Non !
-1<cos(x+pi/4)<1
e^(-x) tend vers en + infini
-1<cos(x+pi/4)<1
donc le produit e^(-x) . cos(x+pi/4) est compris entre - cos(x+pi/4) qui tend vers et + cos(x+pi/4) qui tend vers donc e^(-x) . cos(x+pi/4) tend vers 0

[Helpmeplease13]

D'accord, merci !
Pour la suite je n'y arrive toujours pas.

[Carpate]

utilise cos(a+b)= ... et sin(a+b) = ... avec sin(pi/4)=cos(pi/4)=sqrt2/2

[Helpmeplease13]

Cos (a+b)= cos a * cos b - sin a * sin b
Sin (a+b) = sin a* cos b + cos a sin b

donc : cos t * V2/2 - sin t* V2/2+sin t * V2/2+cos t * V2/2
= cos t*V2/2 - sin t*V2/2 + sin t* V2/2 +cos t* V2/2
=cos t*V2/2 + cos t*V2/2
=2 cos t*V2/2
=V2 * cos t