Math Complexe et Logarithme

[LaylaManga]

Je voudrais bien supprimer ce sujet, y-a-t-il un moyen ? Merci! ^^

[Lostounet]

Salut:

Exo 1:
Si tu notes M(x ; y) avec x et y deux nombres réels, alors dire que M est sur C équivaut à dire que ses coordonnées sont de la forme (x; f(x)):

y = x/(x - 1)

M(x ; x/(x - 1))
On peut donc dire que M a pour affixe: M = x + i x/(x - 1) = z (par définition de l'affixe)

Tu peux ensuite calculer z²-2(1+i)z et montrer que ce nombre complexe est en fait un réel <=> le point M' n'a pas de partie imaginaire <=> il est sur l'axe des x


Exo 2:
1) Quelle est l'équation de la tangente en A à la courbe?
2) A est sur la courbe <=> f(1) = 0 <=> la deuxième équation

[LaylaManga]

Ah! Merci beaucoup je vais déjà voir ce que je peux faire avec ça! ^^

[LaylaManga]

Bonjour!

Alors pour l'exo1 je crois que j'ai un souci de calcul.. J'ai remplacé les z par x+i[x/(x-1)] mais je n'arrive pas a aboutir... j'essaye de développer les parenthèses mais rien n'y fais... Pourriez-vous me donner des indices sur le calcul?

Et pour l'exo 2, l'équation de la tangente c'est bien : y=f'(a)(x-a)+f(a) mais je dois remplacer a par 1 ou 0?
Merci de bien vouloir m'aider sur celui-là ^^""

[titine]

Exo 2:
f est une fonction définie sur ]0;+infini[ par : f(x)=ax+b+ln(x)/x où a et b sont deux nombres. On note C sa courbe représentative dans un repère. Le point A(1;0) est le point de C en lequel la tangente est parallèle à la droite d'équation y=3x+2.

1.a) Démontrer que a et b sont solutions du système :
|a+1=3
|a+b=0

La courbe de f passe par A donc f(1) = 0
Donc a*1 + b + ln(1)/1 = 0
Donc a + b = 0

Au point A d'abscisse 1 la courbe admet une tangente de coefficient directeur f'(1).
Or on sait que cette tangente est parallèle à la droite d'équation y=3x+2. Donc son coef directeur est 3.
Donc f'(1) = 3
Or f'(x) = a + (1-ln(x))/x²
Donc f'(1) = a + 1
Donc a + 1 =3

[LaylaManga]

Ah! Merci beaucoup je ne m'attendais pas à tous ça ^^"

Alors du coup pour la question suivante, j'ai trouvé que f(x)=2x-2+ln(x)/x ce serait ça?

[LaylaManga]

Par contre, pour la 2e question, où il faut démontrer que g(x)>0, j'ai pensé à faire la dérivée pour un tableau de variation, est-ce que ce serait cela? je trouve g'(x)=4x- 1/x

Et pour l'exo 1, j'ai essayé de développer les 2 parenthèses mais je n'y arrive pas, alors j'ai essayé de développer le z² mais rien n'y fais non plus ><""

Merci de bien vouloir m'aider (encore une fois ^^)

[titine]

Par contre, pour la 2e question, où il faut démontrer que g(x)>0, j'ai pensé à faire la dérivée pour un tableau de variation, est-ce que ce serait cela? je trouve g'(x)=4x- 1/x

C'est ça.
Donc g'(x) = (4x²-1)/x
Tu étudies le signe de g'.
Tu en déduis que g est décroissante puis croissante et que son minimum est g(1/2) qui est positif.
Donc pour tout x, g(x)>0

[LaylaManga]

J'ai fait 4x²-1=0 donc x=1/2 et donc dans le tableau, pour le minimum, je met la valeur arrondi (qui est de 2.19 pour moi) ou je met g(1/2)?

et pour le b du 2 je ne vois pas le lien entre f(x) et g(x).. Ils disent d'en déduire mais il n'y a pas de rapport..... ^^""

PS: J'ai un autre exercice qui me chiffonne:

Exo 3 (c'est un vrai ou faux):

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u;v). f est l'application qui a tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe z'=f(z)=(z/|z|)². On note M le point d'affixe z=x+yi (z different de 0) et M' le point d'affixe z'=x'+yi'

a)x'=(x²-y²)/(x²+y²) et y'=(2xy)/(x²+y²)

b) "z'E R" équivaut à "M appartient à l'axe des ordonnées"

c)f[(1+i)^8] est un réel

d) Il existe un seul point M tel que M et M' soient confondus

Mon problème pour celui-la c'est que pour le a) j'ai trouvé le x' mais le y' je n'y arrive pas......

Merci d'avance de m'aider ^^"""

[titine]

J'ai fait 4x²-1=0 donc x=1/2 et donc dans le tableau, pour le minimum, je met la valeur arrondi (qui est de 2.19 pour moi) ou je met g(1/2)?

et pour le b du 2 je ne vois pas le lien entre f(x) et g(x).. Ils disent d'en déduire mais il n'y a pas de rapport..... ^^"

Attention 4x²-1 s'annule en -1/2 et 1/2 mais en effet comme on est sur ]0 :+inf[ ...
Le minimum est 3/2 - ln(1/2) = 3/2 + ln(2)
f'(x) = 2 + (1-ln(x))/x² = (2x² + 1 - ln(x))/x² = g(x)/x²

[titine]

J'ai fait 4x²-1=0 donc x=1/2 et donc dans le tableau, pour le minimum, je met la valeur arrondi (qui est de 2.19 pour moi) ou je met g(1/2)?

et pour le b du 2 je ne vois pas le lien entre f(x) et g(x).. Ils disent d'en déduire mais il n'y a pas de rapport..... ^^"

Attention 4x²-1 s'annule en -1/2 et 1/2 mais en effet comme on est sur ]0 :+inf[ ...
Le minimum est 3/2 - ln(1/2) = 3/2 + ln(2)
f'(x) = 2 + (1-ln(x))/x² = (2x² + 1 - ln(x))/x² = g(x)/x²

[LaylaManga]

Bonjour!

Merci beaucoup!! ^^
Et vous pouvez me donner des indices pour les 2 autres exercices s'il-vous-plait?

[LaylaManga]

Par exemple, pour l'exercice 1, j'ai réussi à faire 1 page de calcul pour aboutir à :

x²-x²/(x-1)² - (2x²+6x)/(x-1)
Est-ce que je dois laisser comme ça et dire que c'est un réel et donc il est sur l'axe des abscisses ou je dois encore le simplifier? Car la j'ai un peu de mal à le "transformer" ^^"

[LaylaManga]

Est-ce que vous pourriez m'aider?

Pour l'exercice 1, j'ai posé z=x+yi et je l'ai remplacé dans l'expression Z=z²-2(1+i)z, ce qui me donne :
x²+2xyi-y²-2x+2y-2[i(x-y)]
Ca ne m'apporte rien tous ça, à moins que j'ai fait une erreur quelque part?!

Et pour l'exercice 3, l'expression de y' je le détermine comment?

Merci de votre aide! ^^

[Lostounet]

Sauf que z on sait que c'est pas "juste" z = x + iy
mais z = x + i[ x/(x - 1)] en gros on sait que vaut y en fonction de x (à cause du fait que le point est SUR la courbe).

Donc il faut développer ce z là et le remplacer dans l'expression.

[LaylaManga]

Oui mais lorsque je prends z=x+ix/(x-1) et que je le remplace dans z²-2(1+i)z je tombe sur quelque chose du genre: x²-x²/(x-1)² - (2x²+6x)/(x-1) ce n'est pas ça? Je ne peux pas conclure en disant que ceci est un réel (vu qu'il n'y a plus de "i")?

[Lostounet]

Souviens-toi que x est un nombre réel.

Donc si ton calcul est bon, Z est réel pur donc le point est sur l'axe des abscisses.

[LaylaManga]

Ce n'est pas ça le résultat? Pourtant j'ai fait un long calcul pour ne plus avoir de "i".. Une autre méthode?

[Lostounet]

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.

La méthode est bonne, et le résultat est cohérent. Le point est sur l'axe des x. C'est fini...

Il reste juste à te relire et vérifier ton calcul.

[LaylaManga]

Je pense que je me suis trompé dans mon calcul car j'ai transformé un "2i" en "-1" et c'est pas ça......
Vous auriez un point de départ du calcul? J'ai beau remplacer le x+ix/(x-1) à la place du z dans z²-2(1+i)z ça ne me mène à rien faut croire ^^'
Merci de votre aide!