R^3 \ {(5;7^(1/2);-8)} simplment connexe?

[skyskiper]

Salut à tous!
Voilà, je suis en première année à l'INSA de Lyon (en prépa intégrée) et je suis en train de faire une exercice sur les ensemble connexe et simplement connexe.
On me demande de dire si l'ensemble R^3 \ {(5;7^(1/2);-8)} (lire: R au cube privé du triplet (5; racine de 7;-8)est connexe, et si oui, s'il est simplement connexe.
Personnelement, je trouve qu'il est est connexe mais non simplement connexe, or la correction me dit qu'il est bel et bien simplement connexe. J'aimerai avoir votre avis. Merci à tous ceux qui me répondront!!! :ptdr:
++

Rappels: (simplifiés)
->Un ensemble U est dit connexe si deux points quelconques de U peuvent être reliés par un chemin continu inclus dans U.
->Un ensemble U est dit simplment connexe s'il est connexe et que toute boucle incluse dans U peut se rétracter de manière continue en un point sans sortir de U.

[nuage]

Salut,
étant donnée une boucle dans , tu peux la contracter en un point. Il me semble intuitivement évident, et facile à démonter via une translation, qu'il en est de même dans privé d'un point. Et même d'une boule.

A+

[skyskiper]

Merci pour ta réponse mais je ne suis pas vraiment convaincu.
Si on contracte la boucle en un point et que ce point est justement celui dont est privé , que ce passe-t-il?
De plus, dans l'exercice que je fais, la correction me dit, par exemple, que l'ensemble \ {(1;3)} est connexe mais non simplement connexe. Alors pourquoi \ {(5;racine(7);-8)} serait-il, lui, simplement connexe?
Merci! :we:

[yos]

Alors que R² privé d'un point n'est pas simplement connexe.

[skyskiper]

Alors que R² privé d'un point n'est pas simplement connexe.

Je suis d'accord avec toi (c'est ce que j'ai écrit dans mon message au dessus), mais je n'ai pas bien compris où tu voulais en venir... :hein:
Merci!

[yos]

Je répondais au message précédent.
On demande que la boucle puisse se rétracter en un point sans sortir du domaine, on n'impose pas que ce soit le cas pour toutes les rétractations possibles.

[skyskiper]

Je suis bien d'accord mais si la boucle se situe autour du point dont est privé , comment cette boucle peut-elle être réduite en un point sans sortir de l'ensemble? (s'il ont réduit la boucle au point dont est privé , alors celle-ci sort de l'ensemble, non?)

[yos]

On demande qu'elle puisse se rétracter en UN point, peu importe lequel ((mais pas le point exclu). Il lui suffit de passer au dessus ou en dessous du point exclu. Ce qu'elle ne peut pas faire dans le plan.

[skyskiper]

Ummm! Je crois avoir compis! Je raisonnais en 2D alors qu'il falait voir le problème en 3D!
Si la boucle se situe autour du point dont est privé (elle est donc contenue dans l'un des plan contenant ce point), on peut très bien déplacer cette boucle lorsqu'on la réduit et elle ne fera ainsi plus parti d'un plan contenant le point en question. A ce moment la, il est bien possible de réduire cette boucle en un point.
privé d'un point est donc bien un ensemble simplement connexe.
Ai-je bien fait le bon raisonnement?
++

[skyskiper]

A priori oui...
Merci pour ton aide!!!
++ :ptdr:

[Yipee]

De manière générale si tu enlèves un nombre fini de points de cela sera toujours simplement connexe

(je ne savais pas que l'on faisait cela en première année de l'INSA!!! La simple connexité est quand même une notion évoluée)