Exercices algèbre

[Damien01]

Bonjour, je bloque sur les exercices suivant :

1) Montrer que -1 est divisible par
J'ai essayé par récurrence mais finalement je bloque :
Je suppose
=
Mais ensuite à part multiplier par deux ou je ne vois pas quoi faire

2) Le deuxième exo je suis totalement perdu. Si = que peut-on en déduire ? Le prof nous a a dit de travailler avec la notion de bijectivité mais je ne vois pas en quoi cela peut aider

[Robot]

Question 1 : se souvenir que . (Devine qui est dans ton exercice ?)
Question 2 : incompréhensible

[zygomatique]

salut



...



donc la récurrence marche ....


2/ est incompréhensible : c'est quoi ces barres ....

[magicarpe]

[Je suis moi même en première année, je donne juste des idées en attendant que quelqu'un d'autre réponde...]
2) Essaie de voir avec les définitions que tu as de f(x) et de x. Qu'est ce que c'est f(x) avec les quantificateurs? qu'est ce que non x? Peut être qu'en commençant par ça tu peux arriver à la notion de bijectivité et en particulier à la notion de fonction réciproque...

1) J'aurais dit de faire une récurrence aussi mais en supposant "(2k + 1)^(2^n) - 1 est divisible par 2^(2n+2)"
et pour l'initialisation tu fais pour le cas n=1, et tu vois ce que ça fait avec les congruences. Le k ne devrait pas gêner dans la mesure où tu sais que 2k+1 c'est impair et 2k pair. Après au rang (n+1) je ne saurais pas te dire si tu arrives à quelque chose...

[Damien01]

Merci de vos réponses.
Si j'ai bien compris, pour l'hérédité :
On suppose que est divisible par
On veut montrer que est divisible par

Or =
Et comme par l'hypothèse on sait que est divisible par alors l'est aussi ? Je ne suis pas sûr sur ce dernier point

2) Essaie de voir avec les définitions que tu as de f(x) et de x. Qu'est ce que c'est f(x) avec les quantificateurs? qu'est ce que non x? Peut être qu'en commençant par ça tu peux arriver à la notion de bijectivité et en particulier à la notion de fonction réciproque...

Je me suis trompé, c'était en fait A à la place de x...
Alors dans le cours on a vu que les barres correspondaient aux complémentaires.
Donc Tous les éléments dans A barre ne sont pas dans A.
Mais du coup que veut dire ?

[zygomatique]

il semble évident qu'on n'est pas dans un exercice de probabilité .... mais de topologie ....

[Ben314]

Salut,
A mon avis, c'est plutôt des exercices sur les images directes et réciproques où la barre désigne le complémentaire de la partie en question.
Donc je pense que l'exercice, c'est :
Soit f:A->B une application quelconque et X une partie de A.
Que peut on dire de f(A\X) par rapport à B\f(X).
(ou alors c'est : On suppose que, pour toute partie X de A, on a f(A\X) =B\f(X). Que peut on en déduire concernant f ?

Où \ désigne "privé de", c'est à dire le complémentaire, mais en précisant en plus le complémentaire dans quoi...

Si = que peut-on en déduire ?

Arrivé à un niveau "supérieur", ça serait pas mal de comprendre que le "blabla" qu'il y a avant ton = qui permet de savoir ce que représente le f et, surtout le x, ben ils sont pas là "pour faire joli", mais pour donner du sens à la question.
Par exemple, là, est-ce un "pour tout x dans ???" ou alors "pour un x fixé de ..." ou bien... autre chose...

[zygomatique]

ha ... on pouvais penser à l'adhérence d'un ensemble ....

[Damien01]

Je vois ce que vous voulez dire. Mais il ne me semble pas que le prof ait précisé plus d'informations (mais c'est peut être moi qui ait mal noté).
Je sais qu'une fonction est une application qui relie un élément d'un ensemble à un élément d'un autre ensemble.
Donc si je reformule la question, ça serait
f : X -> Y
A est une partie de X.
Si avec les barres correspondant au complémentaire, que peut-on en déduire ?
On m'a dit que la réponse était "la fonction est bijective", mais je ne vois pas pourquoi...

[Ben314]

Il suffit d'appliquer bêtement la définition de l'image directe (et la définition de la surjectivité) :
Pour montrer que f est surjective, il faut (définition) montrer que tout y de Y est un f(x) pour un certain x de X.
Or, si y est un élément quelconque de Y alors :
- Soit il est dans f(A) et y=f(x) pour un certain x de A (par définition de f(A))
- Soit il n'est pas dans f(A) donc il est dans Y\f(A) qui, par hypothèse, est égal à f(X\A) donc y=f(x) pour un certain x de X\A (par définition de f(X\A))
Dans les deux cas y=f(x) pour un certain x de X donc f est surjective.

[Damien01]

D'accord merci, je comprends mieux l'exercice grâce à vous.
Mais du coup, ai-je aussi le droit de dire que donc f est injective ?

[Ben314]

Mais du coup, ai-je aussi le droit de dire que donc f est injective ?

Je suppose que f c'est toujours une application de X->Y et A une partie de X, mais c'est quoi ce y qui traine dans ta formule ?
Ensuite si ton f(X\A)=Y\f(A) il n'est valable que pour UNE partie A de X alors tu n'en déduira surement pas que f est injective.
Par contre, si f(X\A)=Y\f(A) POUR TOUTE partie A de X, alors... faut voir...

Enfin bref, bis et répéta : APPREND A ÉCRIRE LES CHOSE CORRECTEMENT, sinon, tu n'y comprendra jamais rien !!!
Est ce que, dans la vie de tous les jours, au lien de dire "Il y a une voiture rouge sur le parking" ou bien " toutes les voitures de la rue sont rouge" est-ce que toi tu dit "il y a rouge" sans préciser où ni quoi ?
Et si oui, est ce que tu crois que l'on risque de comprendre de quoi tu cause ? (voire même est-ce que toi tu comprend de quoi tu cause ?)

[chan79]

Bonjour, je bloque sur les exercices suivant :

1) Montrer que -1 est divisible par

salut
avec k=5 et n=2, c'est faux, on dirait

[zygomatique]

Merci de vos réponses.
Si j'ai bien compris, pour l'hérédité :
On suppose que est divisible par
On veut montrer que est divisible par

Or =
Et comme par l'hypothèse on sait que est divisible par alors l'est aussi ? Je ne suis pas sûr sur ce dernier point

il faut montrer que c'est divisible par ....?

donc que est multiple de ....?

mais Chan79 semble nous dire que c'est faux ...

[Robot]

Si est la valuation 2-adique de avec , alors la valuation 2-adique de est 1 et donc la valuation 2-adique de est .
C'est effectivement incompatible avec le fait que la valuation 2-adique de soit .

[Ben314]

car ou est pair (par contre est impair lorsque est congru à 1 ou 2 modulo 4)
Ensuite où a la même parité que (donc éventuellement impair).
Et tutti quanti qui montre que où a la même parité que , c'est à dire impair si est congru à 1 ou 2 modulo 4.

Par exemple, si (congru à 1 modulo 4) et alors avec impair.

[Damien01]

[
Enfin bref, bis et répéta : APPREND A ÉCRIRE LES CHOSE CORRECTEMENT, sinon, tu n'y comprendra jamais rien !!!
Est ce que, dans la vie de tous les jours, au lien de dire "Il y a une voiture rouge sur le parking" ou bien " toutes les voitures de la rue sont rouge" est-ce que toi tu dit "il y a rouge" sans préciser où ni quoi ?
Et si oui, est ce que tu crois que l'on risque de comprendre de quoi tu cause ? (voire même est-ce que toi tu comprend de quoi tu cause ?)

Merci de me corriger, je comprends très bien ce que vous voulez dire et je vais me rappeler de ça à l'avenir pour m'améliorer. Je vais essayer ici (corrigez-moi si c'est faux) :
Soit les ensembles X et Y et la fonction
f : XY
f : xy
avec x appartient à X et y appartient à Y
On note A une partie de X.
Comme pour tout y appartenant à Y il existe un x qui appartient à et alors f est injective ? Je ne suis pas sûr que ça démontre quoi que ce soit...


Par contre je ne comprends plus rien à l'exercice 1...

[Ben314]

Comme pour tout y appartenant à Y (1) il existe un x qui appartient à (2) et (3) alors f est injective (4)?

?????

Je te fait la même chose en Français :
Comme a chaque fois qu'on prend une pomme dans la cagette (1), il y a une orange dans le panier (2) et le panier est en osier (3) alors il n'y a plus de jus de raisin au Frigo (4).

Tu en pense quoi ? (et tu penserait quoi de quelqu'un qui te dirait qu'un truc pareil, c'est sensé prouver qu'il y a pas de jus de raisin au le frigo ?)

Est ce que tu pourrait essaye de donner un minimum du sens a ce que tu écrit : Quand on commence une phrase par un truc du style "tu voit, ben si tu prend n'importe quelle voiture sur le parking...", on s'attend au minimum à ce que le reste de la phrase parle de quelque chose concerant la voiture en question.
Toi tu commence ta phrase par "pour tout y appartenant à Y..." et dans la suite, ben y'a rien qui parle de y.
Ca te semble pas un minimum louche ?

[Damien01]

J'ai vraiment du mal...
Je pensais que comme on avait dit avant que f était surjective c'était suffisant...
Je reprends :
f : X -> Y
Je veux montrer que f est injective, c'est à dire que pour tout y appartenant à Y, il existe un unique x appartenant à X tel que f(x) = y.
Donc aussi, que pour tout y appartenant à Y, il existe un unique x appartenant soit à A (qui est une partie de X) soit à non A tel que f(x) = y
.... Mais je ne vois pas du tout comment commencer ma démonstration ensuite :'(

[chan79]

Par contre je ne comprends plus rien à l'exercice 1...

En changeant un peu le texte, c'est plus simple

Montrer que -1 est divisible par