Rédaction d'une interversion limite/intégrale

[Narfi]

Salut !

Malgré pas mal d'efforts, j'ai l'impression d'avoir toujours du mal a rédiger certains théorèmes "pointus" en analyse. J'ai essayé de rédiger une question du mieux que je peux, et j'aimerais avoir votre avis. Il s'agit de montrer que :

Avec :



Soit une suite de réels qui tend vers .
On définit qui vaut si et 0 sinon.

Alors
- , les fonctions fn sont continues par morceau et intégrables sur
- les convergent simplement vers
- si , qui est indépendant de n et intégrable sur
, à partir d'un certain rang, , fonction indépendante de n et intégrable sur .

Par convergence dominée, . Ceci étant vrai pour toute suite tendant vers l'infini, par caractérisation séquentielle de la limite, .

Est-ce que, déjà, mon raisonnement est juste ? Et ensuite ma rédaction est-elle correcte ? Sinon qu'est-ce que je dois corriger ?

Merci d'avance,