Combinaison linéaire

[alexis6]

Bonjour,

Je trouve dans un livre:

On appelle combinaison linéaire des vecteurs d'une famille toute expression de la forme où les sont des scalaires et .

Plus loin, il est précisé qu'une combinaison linéaire est une somme finie de vecteurs.

Mais dans certains exercices, les combinaisons linéaires étudiées sont bien "infinies", par exemple, si on considère l'ensemble des fonctions et la famille , certaines combinaisons linéaires ne seront pas finies non?

Merci

[Ben314]

On appelle combinaison linéaire des vecteurs d'une famille toute expression de la forme où les sont des scalaires et .

Plus loin, il est précisé qu'une combinaison linéaire est une somme finie de vecteurs. (1)

Mais dans certains exercices, les combinaisons linéaires étudiées sont bien "infinies" (2), par exemple, si on considère l'ensemble des fonctions et la famille , certaines combinaisons linéaires ne seront pas finies non?

Salut,
Le truc en rouge te dit qu'il s'agit d'une définition, donc d'un truc qui est à prendre "tel quel" et pas à tripatouiller en en changeant le sens. Et dans cette définition, la famille dans laquelle tu "pioche" les vecteurs peut éventuellement être infinie (rien ne dit que I est fini ou pas dans cette définition) mais il est clairement précisé que ce que l'on va sommer, c'est uniquement un nombre fini de termes (piochés parmi l'éventuelle infinité de départ).
Donc le (1) écrit plus loin, il ne "précise" rien du tout (une définition, une fois qu'on l'a posée, on change pas d'avis comme de chemise en ce qui la concerne). Il est là uniquement pour être sûr et certain que le lecteur a bien compris correctement la définition en question.

Et concernant le (2), et bien non. La définition est on ne peut plus claire : bien que la famille des fonctions t->exp(kt) avec k dans R est infinie, lorsque tu va en faire des "combinaisons linéaires", par définition, tu ne prendra qu'un nombre fini de telles fonctions (donc on est dans le cas où I est infini, mais ce qu'on "pioche" dedans doit être fini).

Et pour finir, de toute façon, cette définition (de "combinaison linéaire"), elle s'applique à tout espace vectoriel (en particulier sur n'importe quel corps) et dans un tel contexte, parler de somme infinie ne voudrait absolument rien dire vu que pour pouvoir parler de somme infinies, il y a évidement besoin de la notion de limites (une somme infinie, c'est la limite des sommes finies) et cela n'a de sens que dans certains espaces vectoriels (et en plus il faut préciser quelle sens à va donner à cette notion de limite vu que dans les "gros" espaces vectoriels, il y a plusieurs possibilités...).
Enfin, bref, la notion de "somme infinie" n'a absolument rien a faire dans un cours "de base" d'algèbre linéaire : c'est de l'analyse et pas de l'algèbre.

Si ça te parait trop compliqué, on peut faire une analogie extrêmement simple : Si on prend l'ensemble des entiers naturels, qui est infini, on peut, lorsque l'on prend un nombre fini de ces éléments, en faire la somme. Et bien évidement, cette phrase on ne peut plus "banale" ne dit absolument pas qu'on peut faire la somme de tout les entiers !!!