Exercice analyse majoration

[Etonnai]

Bonsoir, je bloque sur mon exercice, et j'aimerais que l'on m'éclaire un peu. En voici l'énoncé:

Soit f : [a,b] -> C(complexes) une fonction de classe telle que f'(a) = 0 = f'(b)
On pose M :=sup

1)Pour , majorer à l'aide de M

2)Montrer qu'on a

Alors, où j'en suis pour l'instant. f est de classe C2 donc f est dérivable, on note f'' sa dérivée et f'' est continue.
De plus pour tout t appartenant à [a,b]
f'(a)=f'(b)=0
M majore f'' mais comment répondre à la question 1) , il faut mettre f(x)-f(b) M et quelque chose, mais comment trouver ce quelque chose, je n'ai pas vraiment d'idée ?



Je remercie d'avance toute éventuelle aide apporter pour la résolution de mon exercice !

[Lostounet]

Salut,

L'inégalité des accroissements finis ne peut-elle pas s'appliquer à la fonction f' ?

[Etonnai]

Exactement! Merci.

Pour moi l'inégalité des accroissement finis à cette définition :
Soit f une application continue sur un segment [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
S’il existe M ∈ R tel que f'(x) ≤ M pour tout x ∈]a, b[ alors
f(b) − f(a) ≤ M(b − a) (Dans mon cours nous avons fait un exemple avec une fonction de classe C1 ou f'(x)≤ M)

Donc en l'appliquant à mon exercice j'obtiens :
f(x)-f(b) ≤ M(x − b)
Mais ici il faut que f soit continue, or l'énoncé ne l'indique pas, on sait juste qu'elle est C2 donc sa dérivée seconde est continue mais pas f ?

[Ben314]

Salut,
Tu peut me donner un exemple de fonction C2 qui ne serait pas continue s.t.p. ?

Et fait aussi attention à ne pas écrire de GROSSES âneries : il n'y a pas de relation d'ordre sur C (compatible) donc des trucs du style f(b)-f(a)<=M(b-a) ça n'a absolument aucun sens si f(b)-f(a) est non réel.

Sinon, as-tu vu les différents théorèmes de Taylor ?

[Etonnai]

Salut Ben,

C'est vrai qu'ici nous sommes dans les complexes donc cela ne marche pas, je galère vraiment avec cette partie du cours ...

Je comprend ta question, il n'y a pas de fonction C2 qui ne sont pas continue, donc f est bien continue...
Mais donc que faire je ne sais d'où partir ?

[Lostounet]

Exactement! Merci.

Pour moi l'inégalité des accroissement finis à cette définition :
Soit f une application continue sur un segment [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
S’il existe M ∈ R tel que f'(x) ≤ M pour tout x ∈]a, b[ alors
f(b) − f(a) ≤ M(b − a) (Dans mon cours nous avons fait un exemple avec une fonction de classe C1 ou f'(x)≤ M)

Donc en l'appliquant à mon exercice j'obtiens :
f(x)-f(b) ≤ M(x − b)
Mais ici il faut que f soit continue, or l'énoncé ne l'indique pas, on sait juste qu'elle est C2 donc sa dérivée seconde est continue mais pas f ?

( Tout comme toi, je suis étudiant en Licence de mathématiques, il faut surtout prendre mon aide comme celle d'un ami qui essaye de faire l'exercice avec toi ; il vaut mieux écouter Ben)

Déjà, dire que f est de classe C2 sur [a;b], c'est dire beaucoup de choses:
* f est dérivable sur [a ; b] et DONC continue sur [a; b]
* f' est dérivable sur [a;b] et DONC continue sur [a;b]
* f'' est continue sur [a; b]

Ce n'est donc pas seulement le troisième point. Dans certains bouquins, tu trouveras le terme "continument dérivable" pour la classe C1.
Il faut savoir que la dérivabilité implique la continuité.


Je tente un truc (à vérifier)
Soit x dans [a ; b] fixé. Si on vérifie les hypothèses de l'inégalité des accroissements finis et qu'on l'applique à la fonction f'
1) f' est continue sur [x; b]
2) f' est dérivable sur ]x; b[

3) Pour tout x dans [a; b], il existe un nombre réel tel qu' on a: |f''(x) |<= M

Donc
Pareil sur ]a;x[


N'oublions pas les modules !

[Ben314]

3) Pour tout x dans [a; b], il existe un nombre réel tel qu' on a: |f''(x) |<= M
Donc
Pareil sur ]a;x[

On ne peut plus louche que tu majore ton truc par du M(b-x) avec M un su de la dérivée seconde.
Pour t'expliquer le coté "archi louche", je te la fait à la physicienne : si t c'est le temps (en seconde) et f(t) la distance parcourue (en m) lors f'(t) c'est des m/s (vitesse) et f''(t) c'est des m/s² (accélération).
Donc f(b) - f(x) c'est des mètres et M.(a - x) c'est du m/s².s = m/s : ça colle clairement pas...

Ce qui serait cohérent (et en plus c'est vrai...), c'est que |f'(a) - f'(x)| <= M|(a - x)|

[Lostounet]

Salut Ben,

Oops, mais c'est juste un oubli car depuis le départ mon idée était d'appliquer IAF sur f' j'ai oublié de marquer les primes.

Salut,

L'inégalité des accroissements finis ne peut-elle pas s'appliquer à la fonction f' ?

J'édite mon message.
Fort heureusement, et comme ça on a bien une idée du sup de |f| sur [a;b] en utilisant f'(a) = 0

[Ben314]

Bref, d'une façon ou d'une autre, il faut passer par la formule de Taylor ou la redémontrer vu qu'elle est très simple à retrouver :
Pour tout x de [a,b] on a et on fait une I.p.P en prenant et avec la petite astuce qu'on prend comme primitive de pour que ça se simplifie aux bornes de l'intervalle (et c'est mieux que ça élimine le plutôt que le ).
Ca donne
Et vu les hypothèses, on en déduit que

[Lostounet]

Merci beaucoup Ben, je note tes astuces dans un coin.

[Etonnai]

( Tout comme toi, je suis étudiant en Licence de mathématiques, il faut surtout prendre mon aide comme celle d'un ami qui essaye de faire l'exercice avec toi ; il vaut mieux écouter Ben)

Oui je comprends donc tu as bien fait de le faire remarquer

Je vois où tu veux en venir Ben c'est vrai que je me rappelle que l'enseignant à dit de passer par Taylor Young qu'on avait fait un peu plus tôt dans le cours.

Donc je suis en train de faire pareil pour, je poste ça très rapidement

[Etonnai]

Du fait que f'(a)=f'(b)=0
Par la même méthode que tu as faites Ben, on obtient :



Je ne me trompe pas ?

[Ben314]

Le moins dans la formule ça fait "coquin" vu que ça signifie que tu majore un réel positif (le module d'un complexe) par un réel négatif...

[Kolis]

Je vois où tu veux en venir Ben c'est vrai que je me rappelle que l'enseignant à dit de passer par Taylor Young qu'on avait fait un peu plus tôt dans le cours.

Bonjour !
Là je suis très étonné : la formule de Taylor-Young est "locale" et ne permettra pas de proposer des inégalités sur un intervalle.

A noter que l'intégration par parties de Ben314 n'est autre que la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2.

[MMu]

Quel cirque !