Polynome ECS

[yayab]

Bonsoir à tous,
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à comprendre la résolution de cette exercice s'il vous plait?
Il s'agit de calculer les coefficients du polynôme Pn = (1 + X + X2 + ··· + Xn)^2

Pour k ∈ ~0,n, le coefficient de Xk dans Pn est :
a0ak + a1ak−1 + ··· + ak−1a1 + aka0 = k + 1.
Pour le cas k ∈ ~n + 1,2n, on note :
an+1 = ··· = a2n = 0,
de sorte que le coefficient de Xk dans Pn puisse être écrit :
a0ak + ··· + ak−n−1an+1 + ak−nan + ak−n+1an−1 + ···
+ an−1ak−n+1 + anak−n + an+1ak−n−1 + ··· + aka0,
c’est-à-dire :
0 + ak−nan + ··· + anak−n + 0 = n − (k − n) + 1
donc le coefficient est 2n − k + 1

Je comprends la suite du raisonnement mais pas la distinction de cas, ni comment on a trouvé k+1.
Merci pour votre aide!

[Lostounet]

Bonsoir,

Désolé mais c'est vraiment illisible ce que tu as écrit et moi non plus je ne comprends pas.

Si on note
Alors:







Et l'on voit bien, de proche en proche que:

Jusqu'à ce qu'on arrive "au milieu" cela reste vrai.

Pour tous les tels que , on a

Mais lorsque k = n, on a

Et l'on démarre à , ce qui te fait pour k allant de 0 jusqu'à n.

Pour k dans [[0;n]],




Si on veut l'écrire autrement,
* Pour tout k dans [[0 ; n],
* Pour tout k' dans [[n+1; 2n]],
En posant k' = 2n - k
puisque k c'est 2n - k' dans notre réindexation

[Ben314]

Salut,
La formule théorique du produit de deux polynômes te dit que, si et (où les et les sont nuls à partir d'un certain rang)
alors où, pour tout , on a .

Ici, ce qui signifie que pour et pour et, clairement, dans la formule , il va falloir distinguer différents cas :
1) Si alors, pour tout on a et, comme est lui aussi dans on a ce qui signifie que .
2) Si alors, pour tout on a uniquement lorsque et uniquement lorsque , c'est à dire . Donc uniquement lorsque (et sinon).

2.a) Si c'est à dire si alors

2.b) Si c'est à dire si il n'y a évidement aucun tels que donc

[yayab]

Ben314,
Merci pour ta réponse! Le rappel du cours éclaire beaucoup, toutefois je ne comprends pas pourquoi tu as distingué le cas ou m serait inférieur à n, n étant le degré du plus grand monôme...

[Ben314]

J'ai modifié les indices pour que ça "colle" mieux avec les notations de ton exo (avec des a_k).

Et si la question, c'est pourquoi on distingue dès le départ le cas k<=n ?

La réponse est : on peut évidement ne pas commencer par distinguer ce cas et directement écrire que, dans absolument tout les cas, on a .

Sauf que, arrivé à ce point, il ne faut pas oublier que il ne varie "que" de 0 à , c'est à dire que et là, il faut regarder comment se "combinent" les inégalités (1) et (2) ce qui revient à regarder comment sont placées leurs extrémités les une par rapport aux autres.

Bilan : il faut donc comparer les "bornes gauches" et ainsi que les "bornes droites" et et ça conduit à distinguer les cas et : dans le premier cas, c'est l'inégalité (2) qui est plus "restrictive" que la (1) (des deux cotés) et dans l'autre cas, c'est le contraire.
Si tu y tient vraiment, tu peut écrire une "formule générale" qui dirait que, dans tout les cas, où et (avec la convention que la somme est nulle lorsque )