Espace Euclidien - Forme Quadratique

[Leododo]

On me propose E, la surface d'équation dans un repère orthonormé O,ex,ey,ez :

17x²+2y²+17z²-8xy-2xz-8yz-36x+36z = 0

a) Écrire la matrice symétrique S de la forme quadratique q associée.
b) Déterminer le signe des valeurs propres à l'aide de l'algorithme de Gauss. Rechercher une base orthonormée de diagonalisation de S.
c) Donner un repère orthonormé réducteur pour la surface E et en donner sa nature.

Mes recherches :

a. Forme quadratique :

q(X) = 17x²+2y²+17z²-8xy-2xz-8yz = 0

Matrice associée :



b. Je ne sais comment commencer. Dois je pendre ma partie quadratique et éliminer les variables pour n'en avoir plus qu'une ? Je survole ce principe sans le comprendre. Dois-je diagonaliser ma matrice pour avoir une nouvelle base ? Dois-je utiliser la formule q(X)=^tX A ^tA X ?

Si j'essaye de suivre le cours que j'ai, je dois commencer par factoriser 17z²-2xz-8yz = 0, mais là je suis directement embêté avec mon 17.

Merci de votre aide.

[Ben314]

Salut,
C'est très exactement la même chose que la fameuse "mise sous forme canonique" vu en seconde en considérant que x et y sont des constantes et que la variable c'est z (si on commence par z comme tu l'écrit).

Donc, une "piqure de rappel" : comment met-on un trinôme aX²+bX+c sous "forme canonique" ?

[Leododo]

Alors ... j'utilise http://homeomath2.imingo.net/polysec1.htm :

17z²-2xz-8yz = 0


...



Je pars mal ...

[Ben314]

C'est effectivement... pas génial...
- Déjà, tu vire tout les =0 de la fin : la forme canonique d'un trinôme, ça sert effectivement à savoir quand est-ce que le trinôme vaut 0, mais ça sert aussi a... des tas d'autres choses...
- Ce que tu rajoute/soustrait, c'est pas ça qu'il faut mettre pour faire "apparaitre" un carré.

Complète (en gardant des a,b,c que tu remplacera ensuite par... ce qu'il faut :

[Leododo]

Soit :

[Ben314]

[quote="Leododo"]Alors ... j'utilise http://homeomath2.imingo.net/polysec1.htm :

[Leododo]

D'accord, j'ai mis du temps a capter. Je te remercie.

Je reprends ma forme quadratique :







C'est pas possible j'ai tourné en rond et je ne peux subtiliser 'z' , il y a quelque chose que je n'ai pas compris

Il faut que je m'arrange avec ce que l'on vient de faire, je devrais pouvoir exprimer 'z' en fonction des autres variables, et c'est seulement après que je le remplace dans la partie quadratique. Peut être suis-je allé trop vite. Mais avec , comment sortir mon z sans développer ... En transformant ma partie quadratique pour la faire correspondre avec et les substituer ?

[Ben314]

Ben... faut continuer avec les variables restantes, c'est à dire x et y.
Tu choisi une des deux comme LA variable et l'autre comme constante et tu refait exactement la même chose.
A la fin, tu aurat l'expression de ta forme quadratique comme une somme de carrés avec des coeffs. devant les carrés.
C'est ça qu'on appelle généralement "une décomposition de Gauss" et les signes des coeffs te donnent le signe des valeur propres de la matrice.

[Leododo]

C'est ça qu'on appelle généralement "une décomposition de Gauss" et les signes des coeffs te donnent le signe des valeur propres de la matrice.

J'ai compris !
Je m'y attelle de suite.

[Leododo]

Toujours ma forme quadratique :

On a vu avec z comme variable :



Je choisi la variable x et je recalcule, je trouve :



J'additionne ces 2 résultats :



En récupère l'égalité sur ma partie quadratique :



Ce qui me donne :

A la fin, tu aura l'expression de ta forme quadratique comme une somme de carrés avec des coeffs. devant les carrés.

Je dois donc factoriser ça.

[Ben314]

Je choisi la variable x et je recalcule, je trouve :
<- NON

Ben non : il faut continuer les calculs et (surtout) pas les recommencer à zéro....

Ce qu'il faut que tu mette sous forme canonique à la deuxième étape, c'est

qui te "reste" à la fin de la première mise sous forme canonique.

[Leododo]

Ce qu'il faut que tu mette sous forme canonique à la deuxième étape, c'est

qui te "reste" à la fin de la première mise sous forme canonique.

Je trouve =

J'avais au début :


Désormais je peux écrire :





Une autre transformation est elle nécessaire ?

[Robot]

Je trouve =

Erreur de calcul. Same player, shoot again !

[Leododo]

=

=

Les deux sont faux, je ne peux obtenir un signe + devant et mon et mon à la fois ...

[Ben314]

=
Les deux sont faux, je ne peux obtenir un signe + devant et mon et mon à la fois ...

Effectivement, mais vu que c'est pas ça le "but du jeu", on s'en fout.

Après, ce que tu obtient va dépendre que qui de et de tu prend comme variable et qui tu prend comme constante. Y'a qu'a dire qu'on prend comme variable (en général, on commence plutôt par dés le début à la place du que tu as choisi, mais ça change rien...)

[Leododo]

D'accord ... j'étais encore à coté, merci ... je reprends.






J'observe mes 3 carrés, les 2 derniers contenant une variable en moins par rapport au précédent.
Comme tu m'a expliqué,

... tu auras l'expression de ta forme quadratique comme une somme de carrés avec des coeffs devant les carrés ... les signes des coeffs te donnent le signe des valeur propres de la matrice.

Soit mes 3 valeurs propres seront de signe +, - et +.
Soit je dois recommencer ces calculs en prenant désormais pour avoir la totalité de ma partie quadratique, car jusqu'à présent je n'ai pris que les termes contenant .

[aymanemaysae]

Comme la discussion sur cet exercice est close depuis le 15 Mars 2016, je crois que ce message n'est pas une violation de la Charte.

Soit la forme quadratique ,

posons ,

calculons d'abord



,

donc

.



,

donc .