Interprétations géométriques : jacobien, gradient

[Dylaa2n]

Bonjour,

J'ai du mal à me représenter géométriquement la notion de Jacobienne. Concrètement, j'arrive plus ou moins à me représenter, par exemple, ce qu'est un gradient ( qui est la variation d'une fonction par rapport à différents paramètres) mais la Jacobienne reste un mystère pour moi.

Dans un exercice, on nous demande d'intégrer une fonction à deux variables en effectuant un changement de variables et donc en utilisant la Jacobienne de la transformation. J'aimerais bien savoir ce qu'est l'interprétation géométrique de ce Jacobien mais je ne vois pas du tout, pourriez-vous m'aider?

Merci!

[Ben314]

Salut,
C'est très exactement la même interprétation que celle de la dérivée pour les fonction de R->R :
La dérivée f'(xo), ça correspond à la pente de la tangente et et ça donne l'approximation affine de la fonction au voisinage de xo : f(xo+h) est approximativement égal à f(xo)+f'(xo).h
La matrice Jacobienne, c'est à dire la matrice de la différentielle, c'est pareil, ça permet d'avoir une approximation affine de la fonction au voisinage d'un point : F(Xo+H) est approximativement égal à F(Xo)+J(Xo).H
On peut même en avoir un point de vue "totalement visuel" (correspondant évidement à la notion de tangence) mais pour se faire, il faut que la dimension de l'espace de départ plus celle de l'espace d'arrivé soit =3 de façon à pouvoir représenter le graphe de F dans dans R^3 (si le graphe est une partie de R^4 ou plus, c'est... un peu moins visuel...).
On peut aussi avoir a la limite un point de vue visuel par exemple dans le cas de fonctions de R^2->R^3, mais ce n'est plus "toute" la matrice Jacobienne qu'on voit, mais uniquement l'image de l'application linéaire correspondante.

[Dylaa2n]

D'où le fait que la matrice Jacobienne est composée de gradients? Ces deux notions sont donc liées, si je comprends bien?
Merci pour votre réponse

[Robot]

Le gradient d'une fonction est un vecteur. La différentielle d'une fonction est une forme linéaire. On ne peut faire l'identification qu'en présence d'un produit scalaire.

[zygomatique]

salut

une idée/interprétation physique ... que Ben314 ou Robot compléteront ou corrigeront ....

ne pas oublier qu'une dérivée s'interprète essentiellement comme une vitesse (ou "une vitesse de" (quelque chose))

quand une intègre une fonction sur un chemin/surface/volume

je le fais en dimension 1 sur l'intervalle [a, b]

tu parcours ce chemin à "la vitesse de 1" : f(x)dx = f(x).1.dx

le changement de variable par exemple x = 2t conduit à 1.dx = 2.dt

alors tu peux voir que tu parcours un chemin deux fois moins long (sur l'intervalle [a/2, b/2]) à la vitesse double) dont tu auras parcouru "la même longueur"

en dimension 2 c'est pareil : tu balaies une surface S à la vitesse 1dxdy

le changement de variable :

x = 2u
y = 2v

alors dxdy = 4dudv

et ce changement de variable va conduire à balayer une surface 4 fois moindre mais 4 fois plus vite

donc tu balaies "autant de surface"

le jacobien "mesure" la variation de vitesse suivant les directions données par les vecteurs des bases (base initiale/base finale image de la base initiale par le changement de variables) pour conserver "la même quantité de surface/volume"

plus généralement un changement de variables transforme un/e longueur/surface volume en une nouvelle longueur/surface/volume

pour conserver "la même quantité" ou mesure de longueur/surface/volume tu dois multiplier par un coefficient/une matrice qui traduit la variation de vitesse de la nouvelle longueur/surface/volume

bien entendu localement l'unité de surface dxdy au point (a, b) n'est pas transformé de la même façon qu'au point (c, d) et c'est ce que traduit le jacobien

et les changements de variables sont plus ou moins complexes

ainsi le changement de variable

x = r cos t
y = r sin t

conduit à passer de 1.dxdy à k(r, t)drdt qui dépend du lieu (r, t) où on se trouve

.... en espérant ne pas avoir dit trop de bêtises .... j'espère que tu vois ce que je veux dire ...