Etant donnée la matrice
où
et
comment obtenir le produit
quels sont les 4 éléments finaux de P? (en fonction de
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Produit de matrices 2x2
15 messages
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Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 02 Mar 2016, 14:57
Bonjour,
Etant donnée la matrice = \left( \begin{array}{cc}A(\theta_n) & B(\theta_n) \\-B(\theta_n) & A(\theta_n) \\ \end{array} \right))
où
 = cos(\theta_n) = \frac{1}{\sqrt{1+ (\frac{tan \theta}{4^n})^2}})
et
 = sin(\theta_n) = \frac{1}{\sqrt{1+ (\frac{4^n}{tan \theta})^2}})
,
comment obtenir le produit
 \cdot M(\theta_{n-1})...M(\theta_1) = \prod_{k=1}^{n} M(\theta_{(n+1-k)}))
quels sont les 4 éléments finaux de P? (en fonction de
et 
)
est réel est varie de 
à 
et 
est un entier.
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Etant donnée la matrice
où
et
comment obtenir le produit
quels sont les 4 éléments finaux de P? (en fonction de
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Re: Produit de matrices 2x2
par Ben314 » 02 Mar 2016, 15:46
Salut,
Vu que)
est la matrice de la rotation d'angle 
le produit des matrices)
(
entre 1 et ) est la matrice de la rotation d'angle 
.
Peut-tu trouver une valeur de
?
Vu que
Peut-tu trouver une valeur de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 02 Mar 2016, 16:03
Salut,
merci beaucoup pour ta contribution.
Oui, en effet, les rotations se font autours du même axe, mais selon un angle
relatif à l'axe de l'angle "précédent" (disons 
), et un centre de rotation à une certaine distance du précédent, dans la direction justement .
L'origine géométrique de la construction n'est pas importante ici, mais juste la nature récursive de la définition des angles. La relation suivante est implicite si on utilise les relations type)=x)
,  = asin(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}))
, etc.. mais là voici comme demandé:
pour n>1 : = \frac{tan (\theta_{n-1})}{4})
pour n=1 :
cela implique :
pour n>1 : = \frac{tan \theta}{4^n})
Cette relation particulière et qui peut sembler arbitraire est le fruit d'une construction géométrique antérieure, mais dont l'unique contrainte se manifeste ici dans le rapport des longueurs des segments (1/2) et celui des tangentes des angles (1/4)...
J'ajoute une image illustrant dans quel contexte surgit mon désespoir :
http://i.imgur.com/kHXSMow.png
ici,
, et \cdot\hat{e}_{\theta_{n-1}} + sin(\theta_n)\cdot\hat{e}_{\theta_{n-1}}^{\perp})
pour ...
Tu as besoin que je définisse
aussi? Dis-moi si oui...
Il est donné par récurence aussi en imposant
sort part l'arrière du plan.
Et on arrive à cette matrice
en voulant exprimer 
en fonction de 
....
La multiplication des matrices sert justement à obtenir les coordonnées du point de convergence dans le plan (x,y)...
Le but ultime étant de calculer = R_x(\theta)\cdot \hat{e}_x + R_y(\theta)\cdot \hat{e}_y = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}})\hat{e}_{\theta_n})
!!
On sait déjà que le point de convergence pour
est le point (0, M) si on prend le point P0 du dessin comme origine. Où M = 2-1+1/2-1/4+1/8-1/16+.... = 1+1/3
Des idées pour m'aider à parvenir à trouver ce point?
Je ne suis pas un chercheur pro, j'ai fait des études en physique, et je m'intéresse en hobby, pour le moment, à ce problème...qui est parti de nulle part...
Pour ceux que ça intéresse, voici une autre illustration qui montre le contexte dans lequel est survenu le problème actuel :
http://i.imgur.com/k21s7Mx.png
La contrainte sur les tangeantes des angles provient de la construction d'une séquence itérative de projections stéréographiques + homotéthie de rapport 1/2. Les courbes turquoises représentent les lieux des centres des arcs de cercles (oranges) issus de [POP1] (anciennement [FF']) et [P1P2] ([F'P'']) et qui se trouvent sur la médiatrice de [POP1] et [P1P2] respectivement, lorsque varie de à .
J'ai déjà obtenu une expression pour F(x) le lieu des points C' pour le domaine de theta. Can you guess it?
Ca ne sert pour le moment à rien...mais la courbe n'est pas triviale...et sa racine vaut
....
Mais évidemment, tout cela n'a jamais été vérifié, et si par l'occasion quelqu'un se sent l'âme de contribuer à cette aventure...qu'il n'hésite pas à vérifier mes calculs, car rien n'est sûr!
merci beaucoup pour ta contribution.
Oui, en effet, les rotations se font autours du même axe, mais selon un angle
L'origine géométrique de la construction n'est pas importante ici, mais juste la nature récursive de la définition des angles. La relation suivante est implicite si on utilise les relations type
pour n>1 :
pour n=1 :
cela implique :
pour n>1 :
Cette relation particulière et qui peut sembler arbitraire est le fruit d'une construction géométrique antérieure, mais dont l'unique contrainte se manifeste ici dans le rapport des longueurs des segments (1/2) et celui des tangentes des angles (1/4)...
J'ajoute une image illustrant dans quel contexte surgit mon désespoir :
http://i.imgur.com/kHXSMow.png
ici,
Tu as besoin que je définisse
Il est donné par récurence aussi en imposant
Et on arrive à cette matrice
La multiplication des matrices sert justement à obtenir les coordonnées du point de convergence dans le plan (x,y)...
Le but ultime étant de calculer
On sait déjà que le point de convergence pour
Des idées pour m'aider à parvenir à trouver ce point?
Je ne suis pas un chercheur pro, j'ai fait des études en physique, et je m'intéresse en hobby, pour le moment, à ce problème...qui est parti de nulle part...
Pour ceux que ça intéresse, voici une autre illustration qui montre le contexte dans lequel est survenu le problème actuel :
http://i.imgur.com/k21s7Mx.png
La contrainte sur les tangeantes des angles provient de la construction d'une séquence itérative de projections stéréographiques + homotéthie de rapport 1/2. Les courbes turquoises représentent les lieux des centres des arcs de cercles (oranges) issus de [POP1] (anciennement [FF']) et [P1P2] ([F'P'']) et qui se trouvent sur la médiatrice de [POP1] et [P1P2] respectivement, lorsque
J'ai déjà obtenu une expression pour F(x) le lieu des points C' pour le domaine de theta. Can you guess it?
Ca ne sert pour le moment à rien...mais la courbe n'est pas triviale...et sa racine vaut
Mais évidemment, tout cela n'a jamais été vérifié, et si par l'occasion quelqu'un se sent l'âme de contribuer à cette aventure...qu'il n'hésite pas à vérifier mes calculs, car rien n'est sûr!
Modifié en dernier par 0bjective le 02 Mar 2016, 17:09, modifié 1 fois.
Re: Produit de matrices 2x2
par Ben314 » 02 Mar 2016, 17:07
A part éventuellement pour des valeurs particulières de (par exemple 
), je ne pense pas qu'on puisse avoir une formule explicite simple pour l'angle 
: Si on pose pour simplifier )
alors
=\dfrac{t}{4})
=\dfrac{20t}{4^3-t^2})
=\dfrac{t(1344-t^2)}{4(4^5-21t^2)})
Et ça n'a pas vraiment l'air de se simplifier...
Et ça n'a pas vraiment l'air de se simplifier...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 02 Mar 2016, 17:18
Salut,
Si il n'y a réellement pas moyen d'avoir une expression simple...bien que je n'abandonne pas encore, pourrait-on envisager d'obtenir une simulation pour N pas, en appliquant simplement la formule de récursion des directions et des tangeantes des angles, à chaque pas de la boucle (for i=1 to N) de l'algorithme?
J'ai essayé ceci, mais ça foire...
http://www.openprocessing.org/sketch/313633
le code est mega brouillon, c'est plutôt un atelier..
mais tu pourrais pas checker et modifier le code pour avoir quelquechose de correct?
Si il n'y a réellement pas moyen d'avoir une expression simple...bien que je n'abandonne pas encore, pourrait-on envisager d'obtenir une simulation pour N pas, en appliquant simplement la formule de récursion des directions et des tangeantes des angles, à chaque pas de la boucle (for i=1 to N) de l'algorithme?
J'ai essayé ceci, mais ça foire...
http://www.openprocessing.org/sketch/313633
le code est mega brouillon, c'est plutôt un atelier..
mais tu pourrais pas checker et modifier le code pour avoir quelquechose de correct?
Re: Produit de matrices 2x2
par Ben314 » 02 Mar 2016, 18:00
Je viens de regarder avec géogébra ce que donne le lieu géométrique du "point limite", et ça fait un peu n'importe quoi... :
Modifié en dernier par Ben314 le 02 Mar 2016, 18:06, modifié 2 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 02 Mar 2016, 18:05
Mais oui, et je sais pourquoi : c'est parce qu'en additionnant les angles, y'a des sauts" de pi qui donne des discontinuités, mais la situation initiale est continue : le bras articulé s'ouvre continûment, car theta varie continûment, et tous les autres angles sont plus PETITS que theta...donc les bras sont de moins en moins écartés du bras précédent, et de plus en plus petits...
Donc ça converge...
et moi aussi j'obtiens des sortes de marches aléatoires, mais c'est juste dans la construction des angles, je suis certain.
Par exemple, parfois un angle n "chevauche" 'l'axe des abscisses ou des ordonnées : \|/ par exemple, donc en prenant le cosinus et le sinus de l'angle, on n'obtient pas les bonnes coordonnées : il faut projeter la partie gauche de l'angle sur les axes, ensuite la partie droite...et additionner les 2 couples de composantes obtenues...
Tu vois ce que je veux dire?
Donc ça converge...
et moi aussi j'obtiens des sortes de marches aléatoires, mais c'est juste dans la construction des angles, je suis certain.
Par exemple, parfois un angle n "chevauche" 'l'axe des abscisses ou des ordonnées : \|/ par exemple, donc en prenant le cosinus et le sinus de l'angle, on n'obtient pas les bonnes coordonnées : il faut projeter la partie gauche de l'angle sur les axes, ensuite la partie droite...et additionner les 2 couples de composantes obtenues...
Tu vois ce que je veux dire?
Re: Produit de matrices 2x2
par Ben314 » 02 Mar 2016, 18:09
Pas vraiment, mais avec géogébra, je m'en fout : je lui demande en cascade de faire des images de points par des rotations et il n'y a pas "d'effet de bord", sauf évidement concernant les angles qui "sautent" de +pi/2 à -pi/2 vu leur définitions avec des Arctangentes.0bjective a écrit:Tu vois ce que je veux dire?
En bref, ça me donne ça :
http://tube.geogebra.org/m/2786527
(tu déplace A1 et la construction s'enchaine)
Et vu la courbe (en rouge), je suis pas sûr qu'on puisse en dire grand chose...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 02 Mar 2016, 18:14
Excellent, et ça donne quoi quand tu augmentes un peu le nombre de points?
Je suis intéressé au comportement proche de theta=pi/2.
Je suis intéressé au comportement proche de theta=pi/2.
Re: Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 02 Mar 2016, 19:05
J'ai uploadé ton .ggb dans une nouvelle worksheet sur geogebra.org
https://www.geogebra.org/material/simple/id/2787113
J'arrive à supprimer des points, mais je n'arrive pas à en rajouter! (c'est ma 1ère utilisation)
Peux-tu me dire comment faire? Et où sont les commandes que tu as utilisé? comme les relations entres angles, etc? Où se trouvent-elle?
Merci
https://www.geogebra.org/material/simple/id/2787113
J'arrive à supprimer des points, mais je n'arrive pas à en rajouter! (c'est ma 1ère utilisation)
Peux-tu me dire comment faire? Et où sont les commandes que tu as utilisé? comme les relations entres angles, etc? Où se trouvent-elle?
Merci
Re: Produit de matrices 2x2
par Ben314 » 03 Mar 2016, 07:45
L'angle , c'est )
il est directement mesuré en fonction de 
(qui est variable sur le cercle de centre 
de rayon 1).
Puis)
pour de 1 à 7.
Les points
(k de 2 à 8) sont les images des milieux de 
par la rotation de centre 
et d'angle 
.
Enfin, pour que la construction soit un peu plus précise que les simples 8 premiers itérés, le point est situé au tiers du segment 
ce qui correspond à la limite des si les angles étaient nuls.
La courbe rouge donne le lieu géométrique du "point limite".
A mon avis, d'ajouter des points ne donnerais pas tellement de précision supplémentaire concernant la courbe rouge, ou alors uniquement lorsque est quasiment droit et il faudrait effectuer un gros zoom sur l'espèce de rond rouge pour s'en rendre compte.
Puis
Les points
Enfin, pour que la construction soit un peu plus précise que les simples 8 premiers itérés, le point
La courbe rouge donne le lieu géométrique du "point limite"
A mon avis, d'ajouter des points ne donnerais pas tellement de précision supplémentaire concernant la courbe rouge, ou alors uniquement lorsque
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 03 Mar 2016, 15:23
Salut,
encore une fois un grand merci.
Oui, en effet, j'ai pu lire en lecture seule la paramétrisation des points, de segments et des angles que tu viens de réexpliquer, mais je n'arrive pas à modifier le projet (pour ajouter des points par exemple).
Petite correction à ce stade* (mais qui est juste dans ta retranscription je crois, pas dans le projet Geogebra):
Puis)
pour de 1 à 7.
et non :
En effet aussi, il faudrait zoomer assez beaucoup pour observer le comportement dans le petit "cercle rouge" à l'extrémité de la courbe.
A la limite, le comportement de la courbe rouge peut être qualifié de régulier pour
, mais c'est justement pour 
que ça commence à devenir intéressant.
Serait-il possible de zoomer fortement dès le début sur cette extrémité (quitte à ne pas voir le reste de la courbe), et d'ajouter une dizaine de points?
Dommage qu'on ne puisse pas le faire avec une boucle par itération dans Geogebra, et qu'on doive les envoder un par un à la main...
Sinon la seule chose qu'il y aurait à faire, serait de recentrer, zoomer, et changer N=8 en N=50
Pourrais-tu me dire comment je pourrais accéder à ton projet en lecture/écriture? afin que j'essaie de le faire moi-même si tu n'as pas le temps?
*PS : une petit erreur s'est propagée depuis une étape précédente dans la relation de récursion entre les angles : il s'agit de
et non 
...ça ne change pas grand chose dans la visualisation numérique je pense, c'est surtout pour l'expression analytique du point de convergence que ça intervient...
Donc la bonne expression est finalement :
)
!!!
PPS : bien vu pour le M à 1/3
Merci beaucoup en tout cas!!!
a+
encore une fois un grand merci.
Oui, en effet, j'ai pu lire en lecture seule la paramétrisation des points, de segments et des angles que tu viens de réexpliquer, mais je n'arrive pas à modifier le projet (pour ajouter des points par exemple).
Petite correction à ce stade* (mais qui est juste dans ta retranscription je crois, pas dans le projet Geogebra):
Puis
et non :
Ben314 a écrit:Puis
En effet aussi, il faudrait zoomer assez beaucoup pour observer le comportement dans le petit "cercle rouge" à l'extrémité de la courbe.
A la limite, le comportement de la courbe rouge peut être qualifié de régulier pour
Serait-il possible de zoomer fortement dès le début sur cette extrémité (quitte à ne pas voir le reste de la courbe), et d'ajouter une dizaine de points?
Dommage qu'on ne puisse pas le faire avec une boucle par itération dans Geogebra, et qu'on doive les envoder un par un à la main...
Sinon la seule chose qu'il y aurait à faire, serait de recentrer, zoomer, et changer N=8 en N=50
Pourrais-tu me dire comment je pourrais accéder à ton projet en lecture/écriture? afin que j'essaie de le faire moi-même si tu n'as pas le temps?
*PS : une petit erreur s'est propagée depuis une étape précédente dans la relation de récursion entre les angles : il s'agit de
Donc la bonne expression est finalement :
PPS : bien vu pour le M à 1/3
Merci beaucoup en tout cas!!!
a+
Re: Produit de matrices 2x2
par Ben314 » 03 Mar 2016, 19:57
Il me semble que j'ai mis les "droits maximums" sur le truc géogébra en ligne, mais il est effectivement possible que je soit le seul à pouvoir le modifier.
Par contre, je pense que tu peut copier le bidule pour l'utiliser à ta guise soit sous géogébra "en ligne" en faisant une autre application, soit directement sur ton ordi en ayant préalablement chargé géogébra.
Concernant la saisie, lorsqu'il y a des truc à faire "en cascade" sous géogébra, c'est pas super long a condition de les écrire dans la "zone de texte" en bas : tu les récupére (flèche en haut) pour pouvoir re-saisir quasi la même chose.
Sinon, tu peut parfaitement zoommer pas mal sous géogébra (mais je sais pas avec quelle précision il fait les calculs), dans la version "perso", mais je sais pas si on peut le faire dans la version "inline" (sans doute que oui...)
Sinon, la "position limite" lorsque theta->(pi/2)^- est pas trop compliquée à calculer (c'est des angles droits partout et ça correspond à une suite géométrique de complexes) et je pense que, pour theta proche de (pi/2)^- on a (asymptotiquement) une spirale autours de ce point limite. Mais quelle type de spirale ???
EDIT : avec theta_k=arctan(tan(theta)/2^k), la courbe est nettement plus "lisse" :
http://ggbtu.be/m2799839
https://www.geogebra.org/apps/?id=pxH5vQ6U
Par contre, je pense que tu peut copier le bidule pour l'utiliser à ta guise soit sous géogébra "en ligne" en faisant une autre application, soit directement sur ton ordi en ayant préalablement chargé géogébra.
Concernant la saisie, lorsqu'il y a des truc à faire "en cascade" sous géogébra, c'est pas super long a condition de les écrire dans la "zone de texte" en bas : tu les récupére (flèche en haut) pour pouvoir re-saisir quasi la même chose.
Sinon, tu peut parfaitement zoommer pas mal sous géogébra (mais je sais pas avec quelle précision il fait les calculs), dans la version "perso", mais je sais pas si on peut le faire dans la version "inline" (sans doute que oui...)
Sinon, la "position limite" lorsque theta->(pi/2)^- est pas trop compliquée à calculer (c'est des angles droits partout et ça correspond à une suite géométrique de complexes) et je pense que, pour theta proche de (pi/2)^- on a (asymptotiquement) une spirale autours de ce point limite. Mais quelle type de spirale ???
EDIT : avec theta_k=arctan(tan(theta)/2^k), la courbe est nettement plus "lisse" :
http://ggbtu.be/m2799839
https://www.geogebra.org/apps/?id=pxH5vQ6U
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Produit de matrices 2x2
par 0bjective » 03 Mar 2016, 21:03
Salut,
oui j'ai essayé ce aque tu as dit mais ça foire...je ne saispas modifier ton projet que 'jai importé sur mon profil...
Par contre, encore la même erreur de propagation, masi radicale ici:
TOUS LES ANGLES SONT EGAUX!
petite erruer de calcul dans l'itération...donc c'est une itération d'homotétie pure et dure.
Donc...le comportement 'spiralique" va se réamplifier...
Tu crois que c'est possible vite fait d'envoyer un lien de ton projet modifié où tous les angles sont égaux?
Je te remercie grandement en tout cas!
Ca m'est d'une aide bien utile!
a+
oui j'ai essayé ce aque tu as dit mais ça foire...je ne saispas modifier ton projet que 'jai importé sur mon profil...
Par contre, encore la même erreur de propagation, masi radicale ici:
TOUS LES ANGLES SONT EGAUX!
petite erruer de calcul dans l'itération...donc c'est une itération d'homotétie pure et dure.
Donc...le comportement 'spiralique" va se réamplifier...
Tu crois que c'est possible vite fait d'envoyer un lien de ton projet modifié où tous les angles sont égaux?
Je te remercie grandement en tout cas!
Ca m'est d'une aide bien utile!
a+
Re: Produit de matrices 2x2
par Ben314 » 03 Mar 2016, 21:20
Si tout les angles sont égaux, alors les vecteurs A(k+1)Ak, vu comme des complexes, forment une suite géométrique et on sait parfaitement en déterminer la somme.
La fonction A1->M (point limite) sera une similitude directe dont on peut calculer relativement facilement le caractéristiques (et M décrira un cercle évidement).
La fonction A1->M (point limite) sera une similitude directe dont on peut calculer relativement facilement le caractéristiques (et M décrira un cercle évidement).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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