Aime-t-il sa soeur?

[Mario2015]

Monsieur A est un parieur passionne par les jeux de hasard.
Il vient de gagner 10 millions d`euros. Il n`a qu`une seule soeur Mademoiselle B qui est assez fortunee par ailleurs.
Il veut partager cette somme avec sa soeur mais en laissant faire le hasard. Il sort 5 des a 6 faces (non truques) et propose a sa soeur la methode suivante pour partager :
- Il lance au hasard les 5 des
- il calcule leur somme k
- Il divise les 10 millions d`euros par k et ne prend que la valeur entiere de la division. Ce qui donne la part a partager "p".
- Il calcule sa part soit le reste de la division eleve au cube soit m=(10.000.000 mod k)^3
- Il donne a sa soeur le reste soit p - m si ce reste est positif. Sinon sa soeur lui paie sur son propre sa part m
- Il reitere le meme processus sur l`argent restant jusqu`au dernier euro.
Sa soeur accepte le principe.

Aime-t-il vraiment sa soeur ou cherche-t-il a lui piquer son argent?

Exemple pour le premier lancer :
Il lance les des et obtient la somme 17 =6+1+1+4+5
Il divise 10.000.000 euros par 17 = 588235 et reste 5 euros.
p=588235
Il calcule sa part m=5^3=125 euros
Il donne a sa soeur p-m=588235-125=588110 euros
Il reste donc 10.000.000 euros - 588.235 euros = 9.411.765 euros
Et on refait la meme procedure sur l`argent restant.

Erreur de calcul corrige

[Mario2015]

Desole j`ai fait une erreur de calcul!
A chaque fois on soustrait la part "p".

[Mario2015]

Aucune reponse pour l`instant.
Une erreur dans l`enonce?

[Mr Hall]

Plutôt intéressant comme défi.
J'ai conçu un programme Perl afin d'examiner l'évolution du capital du parieur et celui de sa sœur.

$capital = 10000000; $sister = 0;
for ($lancer = 1; $lancer <= 1000000; $lancer++)
{
$dicesum = (1 + int(rand(6))) + (1 + int(rand(6))) +(1 + int(rand(6))) +(1 + int(rand(6))) +(1 + int(rand(6)));
$mod = $capital % $dicesum;
$part = $mod ** 3;
$don = int($capital / $dicesum);
$sister = $sister + $don - $part;
$capital = $capital - $don + $part;
print "C = $capital ; S = $sister \n";
if ($capital == 0)
{
exit();
}
if (($sister == 0) and ($capital != 10000000))
{
exit();
}
}

Le capital du parieur décroît d'abord rapidement, puis ça décélère ( a priori comme une décroissance exponentielle), tandis que le capital de la sœur augmente de façon généreuse.
En répétant le programme informatique : le frère s'appauvrit, sa sœur s'enrichit.

[Robot]

Le programme ne correspond pas à la procédure expliquée par Mario.

[Mr Hall]

Le programme était effectivement erroné, je l'ai modifié, merci d'avoir prévenu. Comme quoi, la vitesse est l'ennemie de l'exactitude.
Le nouveau programme indique que le frère perd d'abord presque tout son argent, au profit de sa sœur. Puis ensuite ça fluctue de façon apparemment imprévisible. Il semblerait que la fortune résiduelle du frère stagne indéfiniment autour d'une valeur faible mais non nulle, tandis que les lancers de dés continuent indéfiniment.

En examinant la valeur de la part (qui est au profit de la sœur quand la valeur est positive), on voit que la part tend à être nulle lorsque le capital du frère tend vers zéro, et à aucun moment la part ne prend une valeur négative (cas où le frère devrait recevoir une part). Finalement, le frère garde un peu d'argent et donne la plus grosse partie à sa sœur.

Part = int(x / 5) - (x mod 5)^3, où int signifie "valeur entière".

Néanmoins, lorsque le capital du frère fluctue entre 125 et 27000 dollars (ou euros) selon la somme des dés, la part peut devenir négative, et tant que la condition est remplie, le parieur peut récupérer peu à peu son argent, mais à partir d'un certain capital il reperd certainement son argent, tout dépend quand finit la partie de lancers de dés. Finalement, la sœur sera devenue plus riche que son frère, et le frère aura conservé un peu d'argent.

Si l'argent est quantifié en valeur entière (absence des centimes), alors en testant toutes les possibilités (entre 0 dollar et 10000000), le frère a l'avantage dans 35511 possibilités sur 10 millions, et la sœur a l'avantage dans 9964490 possibilités sur 10 millions. Je pense que le frère aura du mal à reprendre ce qu'il a perdu en continuant à jouer aux dés.

[Ouvrit]

Je pense que le frère aura du mal à reprendre ce qu'il a perdu en continuant à jouer aux dés.

Une conclusion étonnante si vous avez réellement programmé un algorithme correspondant au problème posé.

Vous avez cependant raison en déclarant que le processus n'a pas de fin. En effet, la somme des faces de 5 dés normaux est un nombre compris entre 5 et 30. Donc, dès que le capital restant à partager devient strictement inférieur ou égal à 30€, la part à partager peut être nulle, et cette part l'est toujours lorsque le capital est égal à 4€.

Par conséquent, peu importe la répartition des 9 999 996 € entre le frère et la soeur lorsque le capital restant devient égal à 4€. Car cet événement est suivi d'une infinité d'étapes pour lesquelles la part à distribuer est nulle, la soeur devant alors verser à chaque fois à son frère une somme égale à 4^3 = 64€.
La soeur pourrait donc finir ruinée à condition d'être toujours vivante à ce moment...
car l'erreur du frère est certainement de ne pas avoir précisé dans cet arrangement la périodicité des lancers de dés.

[nodgim]

Bien vu Ouvrit. Conclusion qui est accessible sans avoir recours à l'informatique, mais le problème est si bien posé qu'on ne pense pas à une telle fin ! Joli piège.