Contradiction

[alexis6]

Bonjour,

j'ai fait un raisonnement qui doit etre sûrement faux et qui est étrange. C'est que si f admet une limite finie en a alors f est continue en a, avec f:R-->R

f admet une limite l en a ssi

Pour tout réel e de R*+, il existe n dans R*+, tel que pour tout x de Df, ( |x-a| < n --> |f(x)-l| < e )

Or f est définie en a et |a-a|=0. Donc tout n de R*+ convient.
Or pour tout e de R*+, |f(x)-l| < e --> f(x)=l donc f(a)=l donc lim(x-->a) f(x) = f(a).

[mathelot]

d'après la formule de Weierstrass, il s'agit de voisinage épointé de la variable.

tel que
tel que


La définition a changé à l'éducation nationale, il faudrait voir quelle définition utilisent
les chercheurs en mathématiques...

[alexis6]

d'après la formule de Weierstrass, il s'agit de voisinage épointé de la variable.

tel que
tel que


La définition a changé à l'éducation nationale, il faudrait voir quelle définition utilisent
les chercheurs en mathématiques...

Merci... C'est de suite plus clair. Je viens de lire qu'en effet, c'est seulement en France que cette définition est en vigueur. Quelle bizarrerie!

[zygomatique]

salut

en soit ce n'est pas dramatique au lycée ... de considérer l'équivalence "f est continue en a" <=> f admet une limite finie en a"

puisque la plupart des fonctions considérées au lycée sont continues (hormis les fractions rationnelles et autres fonctions composées du même type)

et que la plupart des fonction non continues en un réel a fini n'ont pas de limite (limite infinie à gauche et/ou à droite) ( du type les fractions rationnelles encore)

et d'autant plus qu'on n'a plus la définition de la continuité avec des epsilon .... puisqu'on parle à peine des fonctions continues ....

tout le pb est de ne pas perdurer "dans l'erreur" dans le supérieur .... ce qui n'est pas (plus) le cas ....

[alexis6]

Salut

Personnellement je suis en sup, et ma prof utilise toujours cette formule, bien qu'elle nous ait évoqué une seconde façon de formuler la notion de limite.

J'avoue que cela m'a posé bien des problèmes, notamment dans des exos un peu théoriques, des fois c'est un peu contre-intuitif ( prendre une fonction constante partout sauf en un point ).

[Pseuda]

Bonjour,

Je ne comprends pas. Quelle est la définition officielle de l'Education Nationale à l'heure d'aujourd'hui, de la limite d'une fonction en un point a ? Voisinage épointé du point a ou non ?

- voisinage épointé de a : f est continue en a <=> f admet une limite finie en a et lim f(x)=f(a) quand x -> a

- voisinage non épointé de a : f est continue en a <=> f admet une limite finie en a (et, comme dit alexis6, lim f(x)=f(a) quand x -> a en découle).

Merci d'avance.

[Ben314]

Quelle est la définition officielle de l'Education Nationale à l'heure d'aujourd'hui, de la limite d'une fonction en un point a ?

Si tu me dit que tu te doute pas un peu de la réponse,... je suis pas sûr de te croire...

Classe de première en ce qui concerne la limite du taux d'accroissement permettant de définir le nombre dérivé (B.O. spécial n° 9 du 30 septembre 2010, page 3/7) :
- On ne donne pas de définition formelle de la limite.

En terminale la notion de limite d'une suite est définie correctement, mais en ce qui concerne les fonction, le moins qu'on puisse dire, c'est que ça reste dans le "flou artistique" (Bulletin officiel spécial n° 8 du 13 octobre 2011 page 4 et 5/18) :
- Le travail réalisé sur les suites est étendu aux fonctions sans formalisation excessive
- On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle.
(de toute façon on s'en fout complètement vu que des limites, ils en ont déjà calculé en première... sans avoir de définition...)

Par contre, je confirme que du temps où il y avait encore un peu quelque chose de vaguement cohérent dans les programmes du Lycée concernant les limites de fonctions, c'était avec des voisinages non épointés et qu'on était a peu prés le seul pays du monde à présenter ça comme ça vu que ça rend la définition de fonction continue "un peu bizarre".

[Pseuda]

Merci beaucoup Ben314 ! Cela m'éclaire. C'est vrai qu'au lycée, on ne donne plus aucune définition rigoureuse de la limite et de la continuité.

C'est vrai aussi que la définition française de la limite dans un voisinage non épointé donne une définition de la continuité qui est "bizarre", et contre-intuitive.
Du coup, on se demande quelle est la différence entre une fonction continue en a, et une fonction qui admet une limite finie en a. Et en fait la différence semble se faire sur l'appartenance de a à l'ensemble de définition de la fonction (f ne peut pas être continue en un point où elle n'est pas définie, mais elle peut avoir une limite finie en ce point).

Je me demandais aussi quelle était la définition de la limite en post-bac ? Je pense que l'on doit préciser quand on parle de la limite d'une fonction en un point a : quand x->a ou quand x->a et xa, car sinon (avec la définition dans un voisinage non épointé), comment distinguer pour une fonction qui n'a pas de limite finie en a, celle qui aurait une limite dans un voisinage épointé, de celle qui n'aurait pas de limite finie du tout en a ?

Bref, la définition française me paraît bien compliquée et inutile, et je n'en vois pas de prime abord l'intérêt. Une limite, ce n'est pas forcément quelque chose que l'on atteint...

[Ben314]

Dans tout les truc post-bac français que j'ai vu, c'est la notion de limite dans un voisinage non épointé que j'ai vu.
A mon avis, ça correspond en fait à la vision très bourbakiste de la notion de continuité qui, une fois le "bon" vocabulaire mis en place (celui des espaces topologiques généraux) correspond à dire qu'une fonction est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert est ouvert. Et, dans le cas particulier des espaces métriques, c'est plutôt les boules ouvertes non épointées qu'on visualise comme formant une base "naturelle" des ouverts.

Après, on s'en fout un peu vu qu'en général, on définit directement la notion de limite de f(x) lorsque x->xo en restant dans un certain domaine D de façon a pouvoir immédiatement parler de limite "à droite" ou "à gauche" et qu'évidement, ça permet de parler de limite lorsque x->xo avec x différent de xo.

[Pseuda]

Merci beaucoup. Dans les ouvrages que j'ai autour de moi, des fois les 2 définitions sont données, des fois une seule (mais plutôt celle avec des voisinages non épointés), des fois elle est donnée "suivant A inclus dans D (domaine de définition)" (donc comme tu dis on s'en moque un peu).

Je n'avais pas fait gaffe que le théorème relatif à la continuité : "une fonction est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert" nécessitait la définition avec des voisinages non épointés.

Bonne journée.