X maths B MP 2014

[ilikoko123]

salut tout le monde,voilà le titre révèle ce que j'apporte pour vous
la question 11-b présente pour moi une ambiguïté je pense qu'elle peut se résoudre en écrivant un système linéaire de 9 INCONNUS ( mais facile à résoudre) , ainsi la question est faite sans problèmes. Mais j'arrive à voir qu'on peut passer à la transposée dans l'équation différentielle pour trouver une exponentielle et puis passer de nouveau à la transposée, mais cette méthode me fait trouver un r(t) nul je souhaite avoir une réponse, merci
http://www.marocprepa.com/temp/x_2014_B.pdf

[Ben314]

Salut,
On peut sans doute "faire dans le théorique", mais vu la simplicité du bidule, perso., j'aurais résolu bêtement l'équation différentielle en question (2 lignes de calculs) puis utilisé la question 1. pour déterminer p(t), q(t) et r(t).

Je regarde ce que donnent les calculs...

[ilikoko123]

certes, les calculs directs donnent le résultat sans problème, mais je me demande toujours pourquoi l'autre méthode ne fonctionne pas , c'est ça le grand souci pour moi
le r(t) dans la méthode du calcul direct donne une expression contenant une double integrale, mais mon altérnative dont la faille ne ma parait plus donne un r(t) nul !!!!!

[Ben314]

Perso (et sauf erreurs...), je trouve :
; ; (éventuellement simplifiable...)

On peut (si on veut...) écrire que , mais ça ne fait pas 0...

P.S. : et j'ai pas bien compris quelle était ta "deuxième méthode" avec des transposées...

[ilikoko123]

Ok cela me parait juste selon ce qui vient après, cependant :
si on écrit y'(t)=u(t)y(t)M1,0,0 + v(t)y(t)M0,1,0 et puis t(y'(t)) = (u(t).t(M1,0,0) + v(t) t(M0,1,0)).t(y(t) ( où t(..) veut dire la transposée )
on trouve t(y) sous forme d'une exponentielle et on déduit y , cette dernière ne vas plus contenir un terme dans la fond droit en haut ( r(t)=0 ) à vous la parole ,

[Ben314]

J'ai mis un petit moment à comprendre la démarche, mais je pense avoir compris :
Tu as écrit l'équation différentielle sous la forme où est la transposée de et une certaine matrice 3x3 puis tu en a "déduit" que . C'est bien ça ?

Si oui, là où ça déconne, c'est que la dérivée de n'est égale à que si les matrices N(t) et N'(t) commutent (et qu'à priori, ce n'est pas le cas ici...).
De façon générale, la dérivée de , c'est .
Celle de , c'est .
etc...
Et que tout ça se "simplifie gentiment" uniquement lorsque N(t) et N'(t) commutent.

[ilikoko123]

Oui c'est exactement ça ma méthode.
je vous remercie fortement pour votre explication, dans le cas de non commutativité quelle sera la solution de y'(t)=M(t)y(t) ? n'est ce pas une exponentielle donc ? si j'ai bien compris..

[Ben314]

Il y a éventuellement une solution "connue" à ce type d'équation, mais... je ne la connais pas...
En tout cas, c'est effectivement pas mal plus compliqué qu'une simple exponentielle de matrice.

Un cas "classique" d'une telle équation, c'est celui où on connait la courbure et la torsion d'une courbe de R^3 et qu'on cherche à retrouver la courbe en question : sauf erreur, il n'y a pas de "méthode miracle" pour résoudre l'équation en question, mais uniquement des outils théoriques permettant d'affirmer que la solution existe et est unique (et, bien sûr, il y a des méthodes numériques pour approximer la solution).

[ilikoko123]

Ce n'est pas exactement ce que j'avait à l'esprit avant, merci beaucoup pour votre explication !