Précisions sur des questions de mon DM

[Waax22951]

Bonjour !
Je suis actuellement sur mon DM et j'ai besoin de précision (voire d'aide) sur plusieurs parties de ce dernier. Je demande pas qu'on fasse les questions à ma place mais plutôt qu'on me dise comment avancer
Je commence par un énoncé court:

On admet qu'il existe une base de vu en tant que Q-espace vectoriel. Justifier l'existence d'un morphisme additif de dans lui-même qui n'est pas de la forme avec

Pour cette question, il semble qu'il suffise de prendre, par exemple pour un , application linéaire: , qui est définie par pour tout , où vaut 1 si i=j et 0 sinon.
On peut vérifier qu'elle n'est pas de la forme et il s'agit bien d'un morphisme, puisqu'elle est linéaire.

Ce qui me dérange dans cette réponse, c'est qu'on justifie en réalité l'existence d'une infinité de tels morphismes, et c'est beaucoup, surtout quand l'exo demande de justifier l'existence d'un seul. Donc je me demande s'il n'y a pas une petite erreur de raisonnement dans ma réponse

Bonne soirée !

[Ben314]

Salut,
Non, il n'y a pas d'erreur : c'est parfaitement correct.

A la limite, peut être préciser "... il s'agit bien d'un morphisme de groupe additif, puisqu'elle est Q-linéaire"

[Waax22951]

D'accord merci beaucoup !

Du coup j'enchaine sur un énoncé un peu plus long mais qui me pose une petite colle !

Dans l'énoncé on démontre le lemme de Hochschild (ou un cas particulier je ne sais plus):

Dans le -ev , on considère un sev. F de dimension finie . Alors il existe des réels et une base de F tels que:

(mêmes notations avec delta)

Dans la seconde partie, on présente une application de ce lemme.
Du coup on définit pour tout l'endomorphisme de E par:

On fixe alors et on note F le sous-espace de E engendré par les fonctions pour . On suppose de plus que F est de dimension finie .

Dans les premières questions on montre qu'il existe des réels et une base de F tels que:

On déduit de ça que si , alors .

Et voici la question sur laquelle je bloque:
Montrer qu'il existe des complexes non tous nuls tels que:


Naturellement, ça traduit le fait que la famille est liée dans F. Vu qu'il s'agit d'une famille de n vecteurs (= dim F), on peut plutôt montrer qu'elle n'est pas génératrice, mais ça ne m'aide pas des masses non plus.
En fait, je ne vois pas vraiment comment construire une application qui de F qui ne soit pas une CL des dérivées de f.
Est-ce que je fais fausse route ? Y a-t-il un meilleur point de vue ?
Merci d'avance

[Ben314]

C'est tout a fait le bon point de vue, mais... il ne faut pas se tromper en comptant sur ces doigts : la famille elle contient vecteurs et pas ce qui aide pas mal pour conclure.

[Waax22951]

Ah oui évidemment !!
J'ai honte de ne pas avoir vu que je m'étais planté en comptant !
Merci du coup !

Je change encore de registre... Dans un autre exercice, on étudie les noyaux itérés d'un endomorphisme nilpotent d'indice p que l'on note f (dans L(E), avec E un -K-ev. de dimension finie ). On montre au début que:


Où je bloque, on suppose que et on a déjà montré que ans ce cas:


On prend alors un sev. F de E de dimension stable par f. On note g l'endomorphisme de F induit par f. On montre alors que la dimension de ker g vaut 1.
On doit ensuite en déduire que pour tout , .

Puisque l'un est inclus dans l'autre, il suffit de montrer l'égalité des dimensions.
Je ne vois pas vraiment comment le faire par récurrence finie donc j'ai cherché un moyen différent.
Par contre on peut aussi montrer que croît strictement avec i dans {1, ..., r} et que (ce que j'ai déjà fait). Alors par le lemme du carré on peut en déduire le résultat.
Cependant je vois pas comment montrer la croissance stricte. La problème vient du fait que je ne vois pas pourquoi l'inclusion de dans serait stricte (s'il y a égalité, on a par ce qui précède ), mais je n'arrive pas à voir pourquoi ce serait gênant...).
Est-ce que je dois tenter une autre approche ? Y a-t-il plus simple ?
Merci d'avance !

[Ben314]

Perso, c'est surtout l'énoncé que je pige pas bien : sauf erreur, g c'est un endomorphisme de F, c'est à dire qu'on le regarde comme une application linéaire de F dans F.
Et si c'est bien le cas, quelque soit i, ker(g^i), ça sera (par définition même) un s.e.v. de F et en particulier, ça ne sera jamais égal à E tout entier (sauf si F=E bien sûr) alors que ker(f^n)=E...

Enfin, bref, il y a un truc bizarre dans l'énoncé...

A mon sens, si et si alors, pour tout on a trivialement et donc

EDIT : en fait, le résultat est vrai, mais seulement pour les car, si est d'indice alors les seuls s.e.v. stables par sont les avec et donc, si est stable et de dimension , c'est que et on a donc .

[Waax22951]

En effet, j'ai pas fait gaffe en écrivant, c'est bien sûr pour ... Désolé pour l'erreur !
Pour ton EDIT: c'est en effet ce qu'on cherche à montrer dans l'exercice (c'est la question suivante ).

Je réfléchirai demain pour montrer l'inclusion, mais merci pour m'avoir montré la voie !