Congruences

par **pucinette17** » 02 Oct 2006, 15:24

bonjour a tous je n'arrive pas a montrer que x^3 est congru a x modulo3 pour tout entier x?
est ce quelqu'un pourrait m'aider?
merci d'avance

par **Flodelarab** » 02 Oct 2006, 15:35

pucinette17 a écrit:bonjour a tous je n'arrive pas a montrer que x^3 est congru a x modulo3 pour tout entier x?
est ce quelqu'un pourrait m'aider?
merci d'avance

Une petite récurrence ?

ça marche pour 0.
Supposons que ça marche pour x.
prouvons que ça marche pour x+1
(x+1)^3 est congru a x^3+3x²+3x+1 qui est congru a x^3+1 qui est congru a x+1

CQFD.

Reste plus qu'a rediger rigoureusement.

par **titine** » 02 Oct 2006, 15:37

si x cong 0[3] alors x^3 cong 0[3]
si x cong 1[3] alors x^3 cong 1[3]
si x cong 2[3] alors x^3 cong 8[3] donc x^3 cong 2[3]

Donc, dans tous les cas, on a bien x^3 cong x[3]
(Autrement dit x et x^3 ont le même reste dans la division par 3.)

par **pucinette17** » 02 Oct 2006, 15:37

comment sais tu que x^3+3x²+3x+1 est congru a x^3+1?

par **titine** » 02 Oct 2006, 15:38

Ah ouais ... par récurrence ça marche aussi ...

par **Flodelarab** » 02 Oct 2006, 15:39

pucinette17 a écrit:comment sais tu que x^3+3x²+3x+1 est congru a x^3+1?

les autres termes sont des multiples de 3 donc congru a 0 modulo 3 non ?

par **pucinette17** » 02 Oct 2006, 15:40

ah non c bon j'ai compris merci

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