Problème polynômes, Applications linéaires, matrices

[aymanemaysae]

On a .

Qu'est-ce qui se passera si on remplace la ligne par la somme de toutes les lignes?

[babeth107]

On a .

Qu'est-ce qui se passera si on remplace la ligne par la somme de toutes les lignes?

Merci de l'aide
Si je suis votre conseil : la première ligne, si on la replace par la somme des autres sera :
1
2-
5-
2-
? si j'ai bien sommé

[aymanemaysae]

Comment vous avez opéré?

[babeth107]

je remarque que je n'ai pas tenu compte de la première ligne : si je rectifie ça voici comment je procède :
je procède par colonne donc j'ai : 3 + 1-λ 1+1-λ+2 2+1-λ+1 3+ 1-λ
ce qui me donne comme première ligne : 4-λ 4-λ 4-λ 4-λ si je raisonne correctement

[aymanemaysae]

Maintenant, la 2ème étape:

.

Ensuite vous retranchez la colonne des autres colonnes, donc

.

Ensuite vous remplacez la ligne par la somme de la ligne et la ligne, donc

,

je crois que maintenant vous n'aurez aucun problème pour conclure.

[babeth107]

d'accord donc par ce raisonnement je continue : donc
on a ,

je retranche la 1ère colonne de même donc

J'ai donc ce résultat et donc on a (4-λ)(-λ) * ((1-λ)² - 3) = (4-λ)(-λ)(λ²-2λ-2)
donc λ=4 ou λ = 0 ou λ= (2 + √(12)) / (2) ou (2 − √(12)) / (2)

est- ce ceci ?

[aymanemaysae]

Le dernier déterminant contient une erreur de signe:

c'est au lieu de ,

donc

[babeth107]

ah oui excusez moi donc det(M) = λ( λ-4)*((-1- λ)(1- λ) - 3)= λ( λ-4)(-1+ λ² - 3) = λ( λ-4)( λ²-4)
j'en déduis que comme le det doit être égal à 0, soit λ=0, λ=4 ou λ=+ ou - 2

[aymanemaysae]

Oui, c'est juste.

A vous de conclure.

[babeth107]

Parfait, merci beaucoup ! donc c'est ok pour la 1ère question, j'ai les valeurs de λ
Pour la question des valeurs propres j'ai vu qu'il fallait calculer de même le déterminant de M- λI4, or je remarque que c'est exactement ce qu'on demande ici dans la première question donc sont-elles les valeurs propres ? (désolée nous n'avons pas encore vu ceci en cours)

[chan79]

Parfait, merci beaucoup ! donc c'est ok pour la 1ère question, j'ai les valeurs de λ
Pour la question des valeurs propres j'ai vu qu'il fallait calculer de même le déterminant de M- λI4, or je remarque que c'est exactement ce qu'on demande ici dans la première question donc sont-elles les valeurs propres ? (désolée nous n'avons pas encore vu ceci en cours)

Bonsoir Babeth
Je te donne mon avis sur la question 1
En remplaçant x par 1 et -1, on a:
(4-)P(1)=0
(-2-)P(-1)=0
Il est naturel d'envisager d'abord le cas
Comme P(-1)=0, P(X) est de la forme:
P(X)=(X+1)(aX²+bX+c)
on trouve
P'(X)=3aX²+2X(a+b)+(b+c)
En remplaçant dans l'égalité, on arrive à b=2a et c=a
P(X) est de la forme P(X)=a(X+1)³
De même, pour =-2, P(X)=a(X-1)³
Pour les valeurs de différentes de 4 et -2,
P(X) est de la forme
P(X)=(X-1)(X+1)(ax+b)
On trouve
b=-a(1-)
a=-b(1-)
On voit que b=b(1-)²
Les valeurs possibles pour sont 0 et 2
Pour =0, on arrive à P(X)=a(X-1)²(X+1)
Pour =-2, on arrive à P(X)=a(X+1)²(X-1)
Pour la suite, comme l'égalité donnée peut s'écrire f(P)= P, on retrouve ces valeurs de comme valeurs propres de f (valeurs pour lesquelles le déterminant ci-dessus est nul)

[babeth107]

D'accord merci pour les réponses : j'ai cherché les sous espaces et j'ai
E0= Vect
E-2= Vect

E2= Vect

et E4= Vect

Si mes calculs sont corrects, ainsi pour P j'ai posé la matrice suivante :
P=

en m'assurant de respecter la consigne (Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de A.
(b) en choisissant un vecteur non nul dont la dernière colonne vaut 1 de chaque sous espace propre de A, former une matrice P de M4(R) dont les colonnes sont ces vecteurs
Montrer que P est inversible et calculer P-1)

J'ai trouvé qu'elle est inversible
Pour calculer P-1 j'ai essayé de l'échelonner P avec I4 à côté en faisant des calculs sur les lignes (systèmes), je pense m'être trompé quelque part car mon résultat n'est pas cohérent, je vais le refaire mais je veux juste m'assurer que ça soit la bonne méthode ?

[chan79]

c'est bien parti
tes 4 vecteurs correspondent bien aux polynômes trouvés à la question 1
En faisant P-1MP tu auras la matrice diagonale ave c 0,-2,2 et 4 sur la diagonale

[babeth107]

j'ai trouvé P-1 et je trouve bien les valeurs propres dans la diagonale mais comment puis- je relier mes résultats de la question 1 et 3 ?
est -ce que je peux parler de polynôme annulateur ?

[chan79]

j'ai trouvé P-1 et je trouve bien les valeurs propres dans la diagonale mais comment puis- je relier mes résultats de la question 1 et 3 ?
est -ce que je peux parler de polynôme annulateur ?

A la question 1, on demande de déterminer les tels qu'il existe des polynômes non nuls P tels que
(1-X²)P'(X)+(3X+1-)P(X)=0 (pour tout X)
Soit
RP'+SP= P
ou encore
f(P)= P
Ca revient à chercher les valeurs et vecteurs propres de f, ce qui est fait par la suite.
On trouve bien la même chose.
pour =4, par exemple
on trouve à la question 1
P(X)=(X+1)³=1+3X+3X²+3X³ dont les coordonnées sont (1,3,3,1)
C'est bien ce vecteur propre que tu trouves et qui est associé à

[babeth107]

Le dernier déterminant contient une erreur de signe:

c'est au lieu de ,

donc

J'avais en effet fait une erreur (somme à la place de soustraction) mais pourquoi garde t on le 3, n'est ce pas 3-2=1 si on soustrait la colonne 1 aux autres comme vous m'avez expliqué auparavant on peut on juste soustraire la colonne 1 à la 2?
Car sinon la suite ne marche pas ..
Merci d'avance

[aymanemaysae]

Votre raisonnement est juste.