Limites et bornes

[Restefond]

Bonsoirr,

En relisant mon cours sur la continuité et en essayant un exercice proposant la démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss, je bloque sur une proposition:
"Notons c la borne supérieure de l'ensemble {x € [a,b], f(x)<=y}. Alors il existe une suite (u_n) de réels de [a,b] convergeant vers c."
C'est ce "Alors" que je ne comprends pas, qui ne me semble pas à première vue évident (même s'il aide bien pour l'exercice!)... Est-ce-que cela aurait un lien avec Bolzano-Weierstrass? Le fait qu'une partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure?

Merci pour votre réponse et bonne soirée

[Archytas]

Le fait qu'une partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure?

Très bonne idée de partir d'ici.
En revanche Bolzano Weierstrass servira plus à exhiber une limite (du moins une valeur d'adhérence) d'une suite qu'on a déjà, là on cherche à en trouver une.
Alors on a une borne supérieure, est-ce que tu connais la définition d'une borne supérieure dans R avec des epsilons ? Et est ce que tu pourrais pas t'en inspirer pour trouver une suite qui converge vers cette borne ?

[Restefond]

Merci pour votre réponse!

La borne supérieure est définie si je me souviens bien, comme le plus petit des majorants.
Autrement dit, si on reconsidère la borne supérieure M de l'ensemble E, cela signifie que pour tout epsilon e strictement positif, je peux trouver un élément x dans l'ensemble [M-e,M]. En effet, si je ne pouvais pas, cela signifierait que M-e serait ma borne supérieure, donc il y aurait une contradiction.
En particulier, si par exemple je pose e = 1/n,
je peux à chaque fois construire un réel x_n qui appartient à [M-1/n, M].
La suite (x_n) va converger d'après le théorème d'encadrement vers M et appartient à l'ensmeble E.
Donc on a trouvé une suite (x_n) de réels de l'ensemble E convergent vers sa borne supérieure M.

C'était juste ça finalement?

[Ben314]

La borne supérieure est définie si je me souviens bien, comme le plus petit des majorants.
Autrement dit, si on reconsidère la borne supérieure M de l'ensemble E, cela signifie que pour tout epsilon e strictement positif, je peux trouver un élément x dans l'ensemble [M-e,M]. En effet, si je ne pouvais pas, cela signifierait que M-e serait un majorant inférieur à M, donc il y aurait une contradiction.
En particulier, si par exemple je pose e = 1/n,
je peux à chaque fois construire un réel x_n qui appartient à [M-1/n, M].
La suite (x_n) va converger d'après le théorème d'encadrement vers M et appartient à l'ensemble E.
Donc on a trouvé une suite (x_n) de réels de l'ensemble E convergent vers sa borne supérieure M.

Oui, c'est bien ça.
Et on se sert extrêmement souvent de cette caractérisation séquentielle (i.e. par les suites) de la borne supérieure :
M est la borne supérieure de X (partie de R) ssi M majore X et il existe une suite d'éléments de X de limite M.

[Restefond]

Merci beaucoup pour vos réponses!

Effectivement, c'est assez pratique. J'essaierai de retenir l'idée!