Spé maths

[mimic1102]

Choisir deux entiers positifs a et b et calculer leur somme et leur différence (positive). L'un de ces quatre nombres est-il un multiple de 3 ?
Recommencer l'expérience.
En distinguant plusieurs cas, montrer qu'au moins un des nombres a,b,a+b et a-b est multiple de 3.
Pouvez-vous m'aider ?

[bolza]

Re-bonjour ^^

Pour le premier on te demande de "faire une expérience" avec des nombres.
Ces expériences sembles montrer que parmi les nombre a, b, a-b, et a+b on trouve toujours un
multiple de 3. On te demande donc de prouver le résultat observer.

Pour a modulo 3 tu n'as que trois valeur possible.
Pour b modulo 3 tu as également trois valeur possible.

Et un multiple de 3 est égal à 0 modulo 3 ...

[mimic1102]

3 valeurs ? n/n+1/n-1

[bolza]

non, les trois valeurs possibles sont les trois restes possible de la division euclidienne de a par 3.
c'est-à-dire 0,1 ou 2.

Si tu n'est pas à l'aise avec les congruence tu dire dire que tu as trois cas :
cas 1 : a est de la forme 3k
cas 2 : a est de la forme 3k+1
cas 3 : a est de la forme 3k+2

(cf http://www.maths-forum.com/lycee/spe-t172123.html#p1139201)

[mimic1102]

a oui c'est bon j'ai compris mais maintenant avec 3k/3k+1 et 3k+2 on fait quoi ?

[bolza]

La question est de savoir si parmi les nombres a,b,a+b, et a-b on trouve toujours un multiple de 3.
Donc pour chaque cas, tu dois calculer a+b et a-b et regarder si tu ne trouve pas un multiple de 3 parmi
a,b,a+b et a-b.

(Note que si a ou b est un multiple de 3, c'est gagné, et il n'y a pas besoin de faire de calcul).

[mimic1102]

b\a 3k 3k+1 3k+2
3k 6k 6k+1 6k+2
3k+1 6k+1 6k+2 6k+3
3k+2 6k+2 6k+3 6k+4

c'est ça ?

[bolza]

Oui presque, l'avantage des modulo, c'est qu'il te suffit de travailler avec 0,1 et 2.
là il faut faire attention :

Si a est "de la forme 3k" ça veut dire qu'il existe k tel que a=3k (ça veut dire aussi que a vaut 0 modulo 3).
Si b est "de la forme 3k" ça veut dire qu'il existe un entier k' (qui n'est pas nécessairement égal au k du a=3k)
tel que b=3k'.(ça veut aussi dire que b vaut 0 modulo 3)

l'avantage des modulo c'est de ne pas s'encombrer de tous ces "k".

Si tu fais avec les 3k, 3k+1 ect, essai de ne pas faire trop de calcul inutile, tu n'a pas forcément besoin
de passer par une table, (car dans la table, seul certaines valeurs nous intéresse, les autres on en a pas besoin).
(cf la Note de mon poste précédent).

Essaie de y aller méthodiquement :

Cas 1 : a est un multiple de 3 : ça répond à l'énoncé. cas résolu.
Même chose pour b.
à partir de là on suppose que a et b ne sont pas des multiples de 3.
Cas 2 : a est de la forme 3k+1 alors j'ai 2 choix pour b
-cas 2i) b est de la forme 3k'+1 et alors ...
-cas 2ii) b est de la forme 3k'+2 et alors ...
Cas 3 : a est de la forme 3k+2 alors ... etc

Tu comprend ?
tu fais tous les cas un par un posément et ça ira tout seul.

[mimic1102]

mais on a pas a+b et a-b

[mimic1102]

non je comprend pas et voit pas comment avec ça on peut prouver qu'il y en a au moins 1 qui est un multiple de 3

[bolza]

Si a = 3k +1 et b = 3k'+1 alors a-b = 3k+1 - (3k'+1) = 3(k-k') ce qui est un multiple de 3 et donc ...
Si a = 3k+1 et b=3k'+2 alors a+b= 3k+1+3k'+2 = 3(k+k')+3 = 3(k+k'+1) qui est un multiple de 3 et donc....

c'est bon ? tu va arriver à faire le cas a=3k+2 ?

[zygomatique]

salut

soit a = 3p + r avec la division euclidienne de a par 3

soit b = 3q + s avec la division euclidienne de b par 3

alors a + b = 3(p + q) + r + s et a - b = 3(p - q) + r - s

soit a ou b est multiple de 3 (donc r = 0 ou s = 0) et on a fini

soit a et b ne sont pas multiples de 3

à quelle condition a ou b est-il multiple de 3 ?

....

[mimic1102]

pour le 3e cas avec a=3k+2 b= 3k+2 ?

[bolza]

qu'est-ce que tu trouves pour a+b ?
qu'est-ce que tu trouves pour a-b ?

lequel est multiple de 3 ?

EDIT ! : a=3k+2 et b=3k'+2
ou alors utilise la notation moins ambigü proposé par zygomatique :
a= 3p+2 et b=3q+2

[mimic1102]

pk dans la cas 2 on fait juste 3k+1 + 3k'+2 et 3k+1 - (3k'+1) et pas aussi 3k+1 - (3k'+2) et 3k+1 + 3k'+1 ?

[bolza]

parce que quand on fait 3k+1 +3k'+2 (par exemple) on tombe sur un multiple de 3, et donc on a pas besoin
d'aller plus loin.

[mimic1102]

a oui du coup c'est fini une fois qu'on a les 3 cas ? c'est tout ce qu'il faut répondre ?

[bolza]

Oui, si en étudiant tous les cas possible, tu tombes toujours sur un multiple de trois parmi a,b,a+b et a-b alors
on a bien répondu à l'énoncé. :)