Problème polynômes, Applications linéaires, matrices

[babeth107]

Bonjour à tous,
voici un exercice que je dois faire mais je bloque, pourriez-vous m'indiquer des méthodes ou pistes ?
Merci d'avance

1. Déterminer pour quelle(s) valeurs de λ il existe des polynômes non nuls solutions de :
(1-X²)P'(X) + (3X+1-λ)P(X) = 0

Soit B= (1,X,X²,X^3) la base canonique de R3[X]
On note R et S les polynômes : R(X)= 1-X², S(X)=1+ 3X

2 (a) Montrer que pour tout P appartenant à R3[X], RP' + SP appartient à R3[X]
(b) Montrer que l'application f à tout polynôme P associe f(P)= RP'+SP est un endomorphisme de R3[X]
(c) donner la matrice A de f dans B

3 (a) Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de A.
(b) en choisissant un vecteur non nul dont la dernière colonne vaut 1 de chaque sous espace propre de A, former une matrice P de M4(R) dont les colonnes sont ces vecteurs
Montrer que P est inversible et calculer P-1
(c) Calculer le produit matriciel P-1AP. Que remarque-t-on ?

4 Comment peut-on relier les résultats de la qu 3 et la qu 1 ?

Ce que j'ai déjà fait : 1) J'ai essayé de mettre sous forme de somme avec les ak mais je n'arrive pas à poursuivre, est-ce la bonne méthode ?

2 (a) Je l'ai montré avec les degrés
(b) j'ai montré l'application linéaire de R3 dans R3
(c) j'ai trouvé A=
( 1 1 0 0
3 1 2 0
0 2 1 3
0 0 1 1)

3 (a) j'ai essayé de procéder avec A-λI4, cependant ça devient très compliqué quand je veux la rendre diagonale supérieure afin de trouver les valeurs de λ pour A-λI4 non inversible, est-ce la bonne méthode ?

Je suis alors bloquée pour la suite ..

[Robot]

1) J'ai essayé de mettre sous forme de somme avec les ak mais je n'arrive pas à poursuivre, est-ce la bonne méthode ?

Oui, c'est une bonne idée.
Suppose que est de degré , donc de la forme termes de plus petits degrés avec .

Regarde alors quelle tête a (spécialement, quel est le coefficient de , la plus grande puissance que l'on eut obtenir). Ca devrait te permettre de voir quel doit être le degré pour que le résultat puisse être nul.

[babeth107]

D'accord, je trouve alors (1-X²)() + (3X+1- λ)( =0
donc (1-X²)() + (1- λ)( + 3() + 3adX^(d+1)

[Doraki]

Non ça c'est ce qu'on te fait faire dans les questions 2 et 3.

A mon avis ils demandent plutôt de résoudre l'équation différentielle (dans le cadre des polynômes).
En fait c'est pas très dur de déterminer P (à une constante multiplicative près) si on connaît P'/P.
(si P est à coefficients dans C dont tu connais la factorisation, que vaut P'/P ?)

Donc ici, si P est solution de l'équation différentielle, que peut valoir P'/P ? Quelles sont les valeurs de λ qui donnent un truc cohérent ?

---

Pour le 3 a, ne cherche pas à simplifier la matrice. Développe le déterminant, il n'y a pas beaucoup de termes non nuls.

[MouLou]

ce que dit Robot m'a pourtant l'air le plus simple et le plus approprié à la question. Je ne vois pas en quoi la démarche proposée répond aux questions 2 et 3?

Pour reprendre ce que dit Robot, concentre toi uniquement sur le coefficient dominant d'un polynôme qui vérifie ça. Quelle est la relation vérifiée par d le degré? qu'en déduis tu sur le degré d'un polynôme qui vérifie cela?

[Doraki]

oui bonjour, il vaut 3-d et donc comme il est nul, d vaut 3 et cela ne nous dit absolument rien sur λ, merci.
Si tu poursuis dans cette voie-là (regarder les 4 autres coefficients pour donner 4 équations pour trouver λ etc) c'est de l'algèbre linéaire et c'est l'objet des questions 2 et 3

[Robot]

D'accord, je trouve alors (1-X²)() + (3X+1- λ)( =0
donc (1-X²)() + (1- λ)( + 3() + 3adX^(d+1)

Tu n'as pas identifié le coefficient de comme je te l'avais suggéré (tu peux laisser tomber tout le reste pour le moment). Tu as pour le morceau , mais on ne voit rien pour le morceau ; par ailleurs, pour ce morceau-là, tu t'es emmêlé les pinceaux dans la dérivation !

[babeth107]

donc P' =
ie (1-X²)P'=

donc on a dans ce morceau -* d

donc si on rassemble les coefficients pour X^(d+1) on a 3ad-ad*d ? ie ad(3-d) or comme ad différent de 0
d = 3 ?

[MouLou]

Bah une fois qu'on connait le degré d'un polynome et que celui ci est assez petit, on peut se permettre la résolution d'un système linéaire à la main, et je vois pas le rapport entre résoudre cette question et donner la matrice de l'application linéaire donnée. Dans tous les cas c'est un exo d'algèbre linéaire, donc ca semble plus logique de procéder comme ça plutot que passer par la résolution d'une equation différentielle.

[Robot]

Ben voila babeth.
Tu sais donc que si P est solution d'une telle équation, alors il est forcément de degré 3 (ou il est nul).
A partir de là, tu peux te restreindre à l'espace des polynômes de degré , et utiliser par exemple tous les outils matriciels que tu veux.

[babeth107]

D'accord j'ai développé les sommes et j'ai le système suivant :
2* a2 + 3*a0 + a1(1-λ) = 0
3*a3 + 2* a1 + a2(1-λ) = 0
a2 + a3(1-λ) = 0
a1 + a0(1-λ) = 0

[chan79]

salut
On peut essayer de remplacer x par 1 et par -1 dans l'égalité de départ

[Robot]

babeth, rappel de la question :

Déterminer pour quelle(s) valeurs de λ il existe des polynômes non nuls solutions ...

[babeth107]

Il ne faut pas procéder de cette manière?

[chan79]

salut
On peut essayer de remplacer x par 1 et par -1 dans l'égalité de départ

tu dois trouver que, par exemple avec =0, les polynômes solutions sont
P(X)=k(X-1)²(X+1)
Les valeurs de que tu dois trouver sont {4;-2;2;0}
Tu les retrouves comme valeurs propres de l'endomorphisme par la suite.

[Robot]

Il ne faut pas procéder de cette manière?

Tu peux continuer à partir du système que tu as trouvé. Je t'ai rappelé l'énoncé de la question parce que tu semblais bloqué(e) à ce niveau.

[babeth107]

oui effectivement ^^

[chan79]

tu dois trouver que, par exemple avec =0, les polynômes solutions sont
P(X)=k(X-1)²(X+1)

cela donne X³-X²-X+1 soit (1,-1,-1,1) dans la base canonique
Ce vecteur dirige bien le noyau de l'endomorphisme f qui est défini par la suite.

[Robot]

oui effectivement ^^

Tu as un système linéaire homogène de 4 équations à 4 inconnues dépendant du paramètre , et tu veux déterminer les valeurs de pour lesquelles ce système admet une solution non triviale.
Ca ne devrait pas être trop dur, si ?

La méthode que je te propose consiste effectivement de l'algèbre linéaire une fois qu'on a déterminé le degré.
La méthode que proposait Doraki consistait en gros à résoudre l'équation différentielle et à voir pour quelles valeurs de les solutions obtenues peuvent être des polynômes (pas tout à fait, il suggérait de caractériser les décompositions en éléments simples de dérivées logarithmiques de polynômes).
Quant à ce que propose Chan79, je n'ai pas réussi à comprendre en quoi faire dans l'équation (ou même dans les équations obtenues en dérivant) permet de déterminer les pour lesquels on a des solutions.

[babeth107]

d'accord merci beaucoup pour les explications :
j'ai procédé à 3L2 - (1- )L3 ce qui le donne 2(1-)a1 + (² - 2 -2) a2 = 0

ainsi je trouve = 1 ou = 1 √3

sont - elles les seules ?