Normes d'applications

[jlb]

Salut, pour la 2) : comme u*u symétrique, on peut utiliser la question 1) et ensuite sachant que u*u et uu* ont le même polynôme caractéristique et que , cela permet d'obtenir le résultat.
Le raisonnement est bon? Par contre cela me semble très long, y a-t-il une astuce pour conclure plus rapidement? Merci .

[jlb]

En fait, ce n'est pas la bonne méthode car mon explication revient à expliquer les questions suivantes!!

Bon, bien là, j'ai vraiment besoin d'une aide pour débuter. Si une âme charitable passe par là, merci.
( je suis bloqué à la question 2 de l'exercice6)

[Ben314]

Commence par montrer que, pour tout x de E, on a
(facile à démontrer par "double inégalité")

Je te laisse en déduire que (en utilisant uniquement la définition de )

Remarque : L'égalité (*) ci dessus signifie en fait que, pour x fixé, l'application linéaire y-><x|y> (de E dans R) a une norme égale à ||x|| ce qui est un résultat on ne peut plus utile...

[jlb]

Merci!! Cela semble-t-il juste?
Comme pour tout (x,y) appartenant à (E\{0})², , cela légitime ce qui suit:



et



Tout cela parce que : pour x appartenant à E etpour tout en utilisant l'inégalité de Cauchy Schartz

c'est à dire

et bien sur: pour ,

[Ben314]

C'est bon sauf une erreur "classique" : , ça signifie ou bien alors que ce dont tu as besoin pour écrire tes divisions par ||x||||y|| c'est bien sûr de et
Évidement, idem concernant les sup qu'il faut prendre sur (qui est strictement inclus dans )

[jlb]

oups!! merci, j'ai rectifié.

pour l'ex6 question 3):

, ceci d'après la question 2

et

(ici, il y a un truc à préciser pour la dernière égalité: quantité positive)

et on conclut en utilisant la question 1 puisque est symétrique.

pour la question4) on remarque que et on conclut avec la question 1 puisque u et v sont symétriques.

[jlb]

Bonjour, pour l'exercice 7, je bloque sur la question 2 : en fait, je trouve la solution facilement en utilisant les résultats de l'ex6: la norme= rayon spectral, peut-on obtenir le résultat directement à l'aide de la caractérisation donnée? Je tourne en rond, si c'est possible, une piste est bienvenue!!

pour l'exercice8 c'est de la "rigolade" en utilisant l'inégalité de Hölder

pour l'exercice9, il y a une faute dans l'énoncé? c'est x_n,k à la place de x_k, non? je n'ai eu le temps de regarder que la première question.

Pour finir, est-ce que la fin du 6 est correcte ( message précédent) et est-ce qu'il y a un moyen "direct" pour la question 2 de l'exercice7.

Encore une fois, merci pour tout, bonne journée à vous.

[Ben314]

Pour l'exo 6, c'est bon.
Juste une remarque concernant MimeTeX/LaTeX : u^*\circ u
et plus lisible que : u^*o u

Pour l'exo. 7, à priori, tu ne peut pas utiliser le 6 vu que dans le 6 on était dans le cadre d'un espace Euclidien (donc de dimension finie) alors que ce n'est plus le cas ici.
Pour que ce soit licite, il faudrait vérifier que l'on a pas utilisé cette hypothèse (de dimension finie) or dès la question 1) tu l'utilise en disant que "il existe une base orthonormée de vecteurs propres" (En plus, la notion de spectre et de rayon spectral, en dimension infini, ça ne marche pas tout à fait pareil qu'en dimension finie)

Sinon (pour la question 2), je pense que tu te doute qu'il faut une fois de plus procéder par double inégalité.
Une des deux résulte immédiatement du 1).
Pour l'autre, montre que, si alors, pour tout de E tels que , on a:

[Ben314]

Concernant l'exo 9), effectivement l'énoncé de la question 1) est "mal foutu". Prend à la place :
Soit un entier fixé, une suite de réels distincts de et une suite d'éléments de

(vu la question, ça ne sert à rien de prendre des suites doublement indexées)

Par contre, à partir de la question 2), il faut bien sûr se donner une "double suite" définie pour tout et tout telle que, pour chaque fixé, la suite soit constituée de réels distincts.

[jlb]

C'est chaud ces "astuces", sans toi, je n'aurai jamais pu le faire:



Je suis maintenant à peu près paré pour les exos sur les normes d'applications!! Merci pour tout Ben.

{ et je rajoute avant de me faire engueuler que tout cela est pour x+y et x-y différents de 0 , dans le cas contraire,l'inégalité est vérifiée}