Devoir Maison niveau M1, étude qualitative d'EDO

[Sheik56]

Bonjour, je viens chercher de l'aide ici dans le cadre d'un devoir maison en modélisation (Je suis en M1 d'écologie).
Voici la question sur laquelle je bloque :

0-α 0
"Soit la matrice A = β 0 0 avec α>0 et β>0.
0 0 λ
Montrer que les valeurs propres de A sont λ ainsi que deux
valeurs propres imaginaires pures (= de partie réelle nulle) que l'on indiquera."
(On admettra que si pour un point fixe la matrice jacobienne admet 3 valeurs propres dont deux sont imaginaires pures, alors le point sera « pseudo-attracteur » si la 3ème valeur propre est <0 et « pseudo-répulseur » si la 3ème valeur propre est >0 )

Mon calcul me donne un déterminant égal à zéro, je ne parvient pas à obtenir 3 VP, dont deux imaginaires comme sous entendue dans la consigne.
Merci.

[Kolis]

Bonjour!
Montres-nous le déterminant que tu as calculé, on pourra peut-être te dire ce qui ne va pas !
Mais ta matrice est "illisible" sous cette forme !

[Sheik56]

Ah oui en effet >< la matrice est A=(0,-α,0 ; β,0,0 ; 0,0,λ) (écriture type "Scilab")
J'ai cherché les VP de cette manière :
P(λ)=Det(A-I3)
= Det ( (0,-α,0 ; β,0,0 ; 0,0,λ) - (0,0,λ ; 0,λ,0 ; 0,0,λ) )
= Det (-λ,-α,0 ; β,-λ,0 ; 0,0,0)
Le Det étant calculé de la façon suivante
avec delta ij = A privée de la i ème ligne et j ième colonne

[aymanemaysae]

Votre matrice A est ,

donc = ,

donc

Si vous développez votre déterminant suivant la troisième colonne, vous allez trouver votre polynôme caractéristique et vos valeurs propres.

[Sheik56]

Merci beaucoup de votre réponse !
En suivant la troisième colonne, j'obtiens le polynôme :
est donc une VP, les autres s'obtiennent en résolvant la deuxième partie du polynôme je suppose.Les VP imaginaires sont et ?
ou quelque chose comme et ?
J'ai un peu de mal avec les nombres imaginaires

[aymanemaysae]

Vous vous débrouillez très bien.
Bon courage.

[Ben314]

En suivant la troisième colonne, j'obtiens le polynôme :
est donc une VP, les autres s'obtiennent en résolvant la deuxième partie du polynôme je suppose <- OUI : il faut donc résoudre
Les VP imaginaires sont et ? <- NON :
- Le premier n'a pas de sens vu que et que seul les réels positifs ont une racine carrée
- Le second a du sens, mais n'est pas une solution car
ou quelque chose comme et ? <- OUI, là c'est bon car
J'ai un peu de mal avec les nombres imaginaires

[Sheik56]

Merci beaucoup Ben ,
j'avais du mal à comprendre que -i donne le même résultat.