Bonsoir,
Je suis face à un problème assez compliqué pour ma part. Comme certains s'en souviennent (cf d'autres posts), c'est issu d'un sujet en anglais.
Supposons une séquence de fonctions continues qui converge vers une fonction continue f. On utilise pour définir le domaine variable de la fonction.
Par exemple, pour J=1 on écrit :
Considérons les points dyadiques suivants associés à la fonction : et l'ensemble et la partition de [0,1[ en deux sous intervalles .
On note que est une fonction linéaire sur chacun de ces sous-intervalles et donc linéaire sur [0,1].
Plus généralement, pour J>1, on définit: , et le sous-ensemble:
On note aussi
L'ensemble des points dyadiques est qui est dense sur [0,1].
On constate les points suivants :
1) pour tous les . De ce fait la valeur de ne change jamais au point dyadique quand J' augmente.
2) est continue pour tous les J et linéaire sur chaque sous intervalle
3) converges uniformément vers une fonction continue quand J tend vers l'infini.
Pour définir , on sait que au point et on modifie les valeurs dans { 1/4 , 1/8 }. On trouve :
De même
On étend le procédé et on obtient :
Pour et on définit
Nous souhaiterions analyser la convergence de vers f. Il faut se rappeler que l'espace des fonctions continues de [0,1] à R , noté est un espace de Banach: pour
Question 1: Prouvez que la séquence converge uniformément vers une fonction continue en montrant qu'il s'agit d'une séquence de Cauchy
En fait, si je comprends bien, on partitionne une fonction linéaire sur [0,1] et plus notre J augmente, plus on obtient une fonction qui oscille sur [0,1]. On finit par obtenir une fonction en "dents de scie" que je suppose continue partout, mais dérivable nul part