Jolies sommes et récurrence

[Lostounet]

Hello,

Je dois montrer que

1) tout entier k supérieur ou = à 1 peut s'écrire sous la forme:
Et ensuite que:

2)
3)

Bon, pour commencer j'ai pensé que si k est impair, c'est trivial il suffit de prendre n = 0
Pour k pair, j'ai pensé à une récurrence (forte) mais ça ne marche pas.

Pour les autres sommes aucune idée, j'ai essayé des sommes doubles dans tous les sens.

Merci

[beagle]

euh pour k pair, les facteurs premiers impairs en se multipliant ne feront rien d'autres qu'un nombre impair, non? et le reste c'est la puissance de 2

[Lostounet]

Salut
J'ai pensé à la décomposition en base 2 (existence et unicité) mais... autant le faire par récurrence directement.

Supposons jusqu'à k pair que tous les entiers sont de cette forme
k + 2 = 2^n(2m + 1) + 2
= 2^(n+1)*m + 2^n + 2
= 2(2^n*m + 2^(n - 1) + 1)

Mais ensuite que faire... poser m' = ça mais l'exposant sur le 2 aurait disparu

[Ben314]

Salut,
La décomposition d'un entier en facteurs premiers, ça te dit rien ?
Sinon, effectivement, tu peut (re)démontrer le bidule par une bête récurrence sur n (et je vois pas pourquoi tu te limite à "jusqu'à k pair")

Ensuite, pour la 2), d'écrire que et d'utiliser le 1) me semble... pas con...

[Lostounet]

Hi Ben,

Tout entier k>= 2 admet une unique décomposition à l'ordre près en facteurs premiers... Je règle le cas 1 à part

Du coup c'est un peu trivial car le produit d'entiers premiers (autre que 2) est toujours impair donc...

k = 2^(alpha) * (2m + 1)
avec (2m + 1) le produit de tout le reste...

[Lostounet]

Re Ben,
Merci ! J'ai réussi 1. et 2. Reste à bien justifier avec du Fubini.

Il me reste la 3) qui est plus jolie et plus difficile... Des idées?

[Ben314]

J'émets des réserves concernant la 3).

Si , on a
où lorsque .

Or, l'unicité de la décomposition en série entière te dit que le truc en question, ben c'est pas égal à ...

[Lostounet]

Ben, merci beaucoup

Mais j'ai commis une grosse erreur de recopie, c'est pas 2^(n+1) en bas mais 2^(n)
Je suis désolé

3)

Du coup, comment t'es venue l'idée de "télescoper" la double somme avec des m ? Je ne comprends pas tout à fait le passage au (-1)^m ce qui explique que je n'ai pas pu rectifier ton / mon erreur pour trouver ak = 1
Il y a donc un (-1) de trop et un 2^n de trop

[Ben314]

.

[Lostounet]

Re Ben
Oui ça me rassure car je suis tombé sur 2^n(m + 1) de mon coté aussi mais j'ai vite jeté l'éponge.

Mais maintenant que tu dis ça, je vais regarder ces ak de plus près (en regardant exactement pourquoi ces ak valent 1). J'ai l'impression qu'elles se télescopent (edit non attention aux manipulations)


Merci beaucoup !

[Lostounet]

avec où la somme se fait sur tout les tels que et tu n'as qu'à écrire sous la forme (unique) avec impair pour trouver la valeur de (à savoir )

Hello Ben,

J'arrive bien à voir sur quelques exemples pourquoi ak = 1.
Par exemple pour a2, on a deux couples possibles (m;n) = (0,1)
ou (m;n) = (1; 0)

Parce que 2 = 2^0(1 + 1)
2=2^1(0+1)
Du coup cela donne une somme de 2 - 1 = 1

La forme 2^n(m + 1) ne me semble pas unique: si k est impair, n = 0
mais comment faire le lien avec la forme unique 2^l*i avec i impair ?

[Ben314]

Si avec impair (forme unique) alors
donc

[Lostounet]

Bonjour Ben

J'ai finalement réussi grâce à toi à finir cet exercice. En ce qui concerne la somme que tu m'as aidé à réecrire, j'ai tout simplement sorti le cas pathologique n = l pour lequel on a un +2^l qui sort.
Tu m'as appris à dérouler les calculs jusqu'au bout et ne pas avoir peur d'un truc "2^n(m + 1) " qui apparait et d'écrire proprement la somme jusqu'à la fin.
Finalement, on trouve ak = 1

Je voulais tout simplement dire merci