Convergence d'une série temporelle

[vorge1]

Bonjour,

Cela fait plusieurs heures que je bloque sur un exercice, à plusieurs reprises je pensais n'être pas très loin de la réponse mais au final je n'arrive toujours pas à aboutir. Voici l'énoncé :

Soit Z(t) une séquence de variables aléatoires iid tel que E(log(Z(t)^2)) < 0. Montrer que Somme[Z(t)^2 * ... * Z(t-n)^2, pour n allant de 0 à +inf] converge presque sûrement.

Voici quelques unes de mes recherches qui n'ont pas abouties : (je pose t,n) = Z(t)^2 * ... * Z(t-n)^2))

- La loi des grands nombres donne : Somme[ log(X(t,i)), pour i allant de 0 à n ] / n ---> E[log(Z(t)^2)] < 0
- J'ai essayé d'utilisé l'inégalité de Jensen ( E[log(X)] >= log(E[X])), je n'ai pas abouti à quelque chose d'intéressant
- E[log(X(t,n))] = Somme[ E[log(Z(t-n)^2)], pour i allant de 0 à n ] < 0
- log(Z(t-n)^2) = log(X(t,n)/X(t,n-1) => Z(t-n)^2 = 0 ou < 1 => Z(t-n)^2 < 1.
- J'ai essayé de faire un parallèle avec GARCH(1,1), je n'ai pas abouti non plus.
- J'ai fait intervenir exp et log à plusieurs reprises mais au final je tourne en rond.

Est-ce que quelqu'un aurait des pistes/solutions à m'apporter? Car je ne vois plus comment avancer là.

Merci par avance!

[Ben314]

Salut,
Je suis une bille en proba, mais... je tente ma chance...

Si on pose alors l'hypothèse dit que .
Et on a
où donc converge presque surement vers la constante .
Et ça implique (pas bien sûr de mon coup là...) que

Or, si pour un certain on a , ça implique assez trivialement la convergence de la série

[vorge1]

Merci pour la réponse rapide!

Le raisonnement me paraît juste également. Il y a juste "" où je ne suis pas sûr non plus. En effet quand n tend vers +inf, Xn(t)/(n+1) tend vers lambda > lambda / 2, je dirai donc plutôt :

D'autant plus que la Loi faible des Grands Nombres donne : lim (n --> inf) [ P ( I Xn(t)/(n+1) - E[X0(t)] I >= Epsilon ) = 0 pour tout epsilon strictement positif.

Je vais essayer de regarder à partir de ce raisonnement si je peux trouver quelque chose, si quelqu'un a d'autres pistes je suis preneur.

Merci!

[Ben314]

Fait gaffe, donc un intervalle qui "encadre" , c'est dans ce sens et pas dans l'autre.
Si tu préfère, on prend et surement pas qui est <0.

[vorge1]

Ah oui exact! Merci!

Mais en fait, je crois que l'on peut directement passer la convergence de Xn(t)/(n+1) vers lambda à la dernière ligne en remplaçant lambda/2 par lambda sans écrire la probabilité comme ça. Ou alors j'ai loupé un truc?

[Ben314]

Mais en fait, je crois que l'on peut directement passer la convergence de Xn(t)/(n+1) vers lambda à la dernière ligne en remplaçant lambda/2 par lambda sans écrire la probabilité comme ça. Ou alors j'ai loupé un truc?

ça, je serait pas capable de te dire...
Je suis allé (re)regarder la définition de "converge presque surement" pour vérifier que j'avais pas écrit de connerie (ça te donne une idée du niveau que j'ai...) et je pense que, tel quel, c'est bon.

Après, j'ai un peu des doutes concernant le fait qu'on puisse raisonner directement avec sans le couper en deux, mais vu mon niveau, c'est tout sauf une certitude...

[vorge1]

Du coup, en partant de ce raisonnement et en prenant une définition de la convergence presque sûrement, on a :


En prenant {\epsilon} = - {\lambda}/2

.

Dans ce cas, on aboutit à la dernière donc je pense qu'en effet le raisonnement est bon. Je me suis mélangé tout à l'heure, désolé. Merci beaucoup pour cette aide!

[Matt_01]

Je pense que l'idée est là mais que vous sautez des étapes (où alors je n'ai pas vu les justifications), quand par exemple Ben dit "si pour un certain N on a quelque soit n>=N ...". La convergence vers 1 n'assure par l'existence d'un tel N (où alors j'ai raté quelque chose).
Perso j'essaierai de montrer que la somme des exp est p.s de Cauchy.
En fait, on se rend compte que à partir d'un certain rang, pour avoir somme de n à n+p des exp supérieure à eps, il faut que l'un des i entre n et n+p vérifie Xi/(i+1)>lambda/2 (ca se montre assez facilement par l'absurde).
Donc à partir d'un certain n, P( somme de n à n+p > eps) < P(il existe i entre n et n+p tq Xi/(i+1)> lambda/2)
< P(il existe i>n tq Xi/(i+1) > lambda/2) = 1-P(quelque soit i>n , Xi/(i+1)<lambda/2) -> 0
Donc la somme des Xn est ps de Cauchy (En effet, on vient de montrer que la proba qu'elle ne soit pas de Cauchy est nulle) et donc ps convergente.

[Ben314]

Ma façon de voir les chose :

Si pour tout on pose alors .
D'un autre coté, si on pose
Alors ne dépend de rien du tout (en particulier pas de ) et, pour tout , on a
donc

Où est-ce que ça ne te va pas ?