Suite de fonctions, convergence uniforme

[Yuko]

Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer le résultat de cette question:
Soit fn:[0,1]-->R continue. On suppose que la suite (fn) converge uniformément sur [0,1[.
Montrer que la suite converge uniformément sur [0,1].

J'ai eu un exercice similaire sur l'intervalle [a,b], la fonction converger uniformément sur [a,b[ et simplement sur [a,b]. On a obtenue le résultat en développant le sup en 2 (sup(|fn(x)-f(x)|) (x entre [a,b]) <=sup(|fn(x)-f(x)|) (x entre [a,b[) +|fn(b)-f(b)|. Qui tend vers 0

Je ne sais pas si c'est la même démarche.
Merci d'avance de l'aide qu'on m'apportera.

[zygomatique]

salut

Je ne sais pas si c'est la même démarche.

ben pourquoi tu n'essaies pas ?

[Ben314]

Salut,
Le problème, c'est que dans l'autre exercice, tu savait, par hypothèse, que la suite était convergente alors que ce n'est plus le cas ici.
Par contre ici, contrairement à l'autre exo., on suppose les différentes fonctions continues.

As tu vu la notion de suite de Cauchy ? (ça permettait d'avoir très rapidement la réponse...)

[Yuko]

Salut,

Oui j'ai vu les suite de Cauchy, donc j'obtiens sup(x entre [0,1]) |fn(x)-f(x)]| <= |fn(1)-f(1)|
Je dois prouver que |fn(1)-f(1)| converge
Pour tout epsilon, il existe un N, tel que p,q>N |fp(1)-f(1)-(fq(1)-f(1))|=|fp(1)-fq(1)|

Mais je reviens au même problème, on ne sait pas si fn(1) converge

[Ben314]

Oui j'ai vu les suite de Cauchy, donc j'obtiens sup(x entre [0,1]) |fn(x)-f(x)]| <= |fn(1)-f(1)|

Non, ça ne va pas du tout :
- Déjà, je ne vais aucune raison que l'on ait une inégalité dans ce sens là : le sup, par définition, c'est un majorant de ce qu'il y a "à l'intérieur du sup" donc l'inégalité triviale que tu as, elle est dans l'autre sens (sans parler du fait que, pour montrer que fn(1) tend vers f(1), il faut évidement majorer |fn(1)-f(1)| et pas le minorer)
- Tes fonction fn sont bien définies sur [0,1], mais ton hypothèse dit uniquement qu'elle convergent (uniformément) sur [0,1[ donc si tu défini la fonction f comme étant la limite des fn, cette fonction n'est définie que sur [0,1[ et tu ne peut pas parler du sup de |fn-f| sur [0,1] fermé en 1 ni parler de f(1).

Bref, avant d'écrire quoi que ce soit de ce style, il faut montrer qu'on peut définir un réel qui va jouer le rôle de f(1). A mon avis deux idées doivent venir à l'esprit :
a) Montrer que la fonction f admet une limite lorsque x->1 par valeurs inférieures.
ou bien
b) Montrer que la suite (fn(1)) admet une limite lorsque n tend vers l'infini.

Un truc qui marche (ce n'est sans doute pas le seul), c'est de montrer le b) en utilisant la notion de suite de Cauchy ce qui vient naturellement à l'esprit vu qu'on ne sait pas dire vers quoi la suite (fn(1)) va tendre.