Probabilités

[maxnihilist]

Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice (au risque de faire des erreurs de traduction, vu que c'est déjà arrivé par le passé, je mets ci-après l'énoncé en anglais):

Proposition de traduction
Soit f la densité de probabilité d'une distribution discrète. Supposons que f(x) = 0 pour x n'appartenant pas à [0,1].
Prouvez que la variance de cette distribution est au plus égale à 1/4.
Indice : Prouvez qu'il y a une distribution s'appliquant uniquement aux deux points {0,1} telle que la variance est au moins aussi grande que f, puis prouvez que la variance de la distribution sur {0,1} est au plus 1/4.

Enoncé anglais
Let f be a p.f. for a discrete distribution. Suppose that f(x) = 0 for x [0,1].
Hint: Prove that there is a distribution supported on just the two points {0,1} that has variance at least as large as f does and then prove that the variance of a distribution supported on {0,1} is at most 1/4.


J'ai commencé par faire comme ceci:
Si on considère que deux points, on peut suggérer une loi de Bernoulli avec la proba p d'obtenir 1, et (1-p) d'obtenir 0 par exemple.
La variance serait alors égale à p(1-p). Pour p=0.5 j'ai bien une variance maximale possible égale à 1/4.
Le problème c'est qu'ici, je réponds bien à la partie " then prove that the variance of a distribution supported on {0,1} is at most 1/4." mais je ne vois pas en quoi je réponds à "Prove that there is a distribution supported on just the two points {0,1} that has variance at least as large as f does"
Et surtout comment conclure que la variance de la distribution initiale est d'au plus 1/4

Merci

[Ben314]

Salut,
Un fois que tu aura montré que, quelque soit la distribution discrète de départ, tu peut trouver une Bernoulli ayant une variance supérieure (ou égale) à celle de ta distribution de départ, ça sera fini vu que tu as montré qu'une Bernoulli a au plus une variance égale à 1/4.
Donc ce que tu as fait, c'est parfaitement correct, le seul "hic", c'est que tu commence par faire la deuxième partie de la preuve et que, bien sûr, sans la première partie, ça ne prouve rien.

Pour cette première partie, supposons que tu ait une distribution discrète qui prenne les valeurs xi avec des proba pi (avec i dans N, xi dans [0,1] et la somme des pi qui fait 1). Si on note m la moyenne des xi, alors la variance, c'est la somme des pi(xi-m)^2.
Comment "déplacer" les xi (sans changer les pi) de façon à faire à coup sûr augmenter la variance ?
(le but étant évidement de "remplacer" tout les xi soit par 0, soit par 1)

Sinon, à un niveau plus ou moins élémentaire, j'ai un peu des doutes concernant la notion de "densité de probabilité" appliquée à une "distribution discrète" (regarde la définition que tu as de ce qu'est une "densité de probabilité", en particulier est-ce sensé être une fonction ou éventuellement... autre chose...)

[maxnihilist]

Hello,

Merci.
Comment "déplacer" les xi (sans changer les pi) de façon à faire à coup sûr augmenter la variance ?
=> je ne sais pas trop, je dirais qu'il faudrait se placer sur les valeurs maximales que peuvent avoir les xi (c'est a dire sur les bornes de l'intervalle de definition) et de maniere a ce qu'ils soient repartis egalement sur chacune des bornes ? On aurait une moyenne inchangee mais une variance augmentee au maximum ?
Mais en faisant ca, je change forcement les pi ?

PS: EDIT de l'enonce en anglais, jai oublie la question (en gras ci-dessous)...
Let f be a p.f. for a discrete distribution. Suppose that f(x) = 0 for x [0,1]. Prove that the variance of this distribution is at most 1/4.
Hint: Prove that there is a distribution supported on just the two points {0,1} that has variance at least as large as f does and then prove that the variance of a distribution supported on {0,1} is at most 1/4.

Sinon "p.f". veut dire probability function.

[Ben314]

Je viens de me rendre compte que j'ai écrit une connerie (c'est ni la première... ni la dernière...) : lorsque tu "déplace" les xi, ça modifie la valeur de m donc dans le calcul de la variance, c'est plus le même m qui intervient (une fois le xi "déplacé").
Si on n'a qu'un nombre fini de xi, une méthode simple consiste à regarder comment s'écrit la variance lorsque l'on considère tout les xi comme constant sauf un qui joue le rôle de variable (et sans toucher aux pi bien sûr).
Quelle est la formule V=??? en fonction uniquement de x=xi, en considérant tout le reste comme constant ?
Quand est-ce que V est maximal ?

=> je ne sais pas trop, je dirais qu'il faudrait se placer sur les valeurs maximales que peuvent avoir les xi (c'est a dire sur les bornes de l'intervalle de definition) et de maniere a ce qu'ils soient repartis également sur chacune des bornes ?

A priori, la partie en bleu ne me semble pas claire du tout (en tout cas vu la façon dont je raisonne, mais il y a peut-être d'autres façon de voir les choses...)
Pour moi, un truc assez "évident", c'est qu'on peut augmenter la variance en "envoyant" certains xi sur 0 et d'autres sur 1, mais par contre, pas du tout en cherchant à "répartir équitablement".

P.S. Je cherche un argument simple dans le cas où il y a une infinité (dénombrables) de xi, mais a mon avis, il faut au minimum que tu trouve comment rédiger proprement le truc dans le cas où il y a un nombre fini de xi (et ou on peut donc les "déplacer" les uns après les autres).
Mais dans le cas "non fini", la (quasi) obligation donnée par l'énoncé de passer par une Bernoulli m'emmerde plus qu'autre chose...

[maxnihilist]

Pour moi, un truc assez "évident", c'est qu'on peut augmenter la variance en "envoyant" certains xi sur 0 et d'autres sur 1, mais par contre, pas du tout en cherchant à "répartir équitablement".

Oui tout a fait.
Si on prend 5 points 1 1 0 0 0, on a comme variance 0.24 sauf erreur. Soit presque 1/4.

[maxnihilist]

Quelle est la formule V=??? en fonction uniquement de x=xi, en considérant tout le reste comme constant ?

Formule de la variance:
V = 1/n * Somme de i=1 a n de { [ xi-xbar ] ^2 }
que je peux reecrire de cette facon si je considere tous les xi egaux sauf un qui vaut disons y:
V = 1/n * [ (n-1)(xi-xbar)^2 + (y-xbar)^2 ]

Je me perds un peu a mon avis

[Ben314]

Démerde toi comme tu veut pour le visualiser, mais si on considère toutes les probas et tout les sauf un (qu'on note x) sont constant alors la variance est de la forme avec .
Et vu le tableau de variation du bidule, le max de la fonction sur [0,1] est obtenu soit en x=0, soit en x=1 donc en remplaçant le xi en question par 0 ou 1, tu fait augmenter la variance.

[maxnihilist]

comment arrives-tu a ton V = ax^2+bx+c ?

[Ben314]

Tout simplement en partant du fait que, si tout sauf le en question est considéré comme constant, on a

qui, en développant, donne

[maxnihilist]

D'accord, du coup on faisant comme ca, on en conclut que mettre un xi sur 0 ou 1 fait augmenter la variance a son maximum. On peut repeter l'operation pour tous les xi un a un et on obtient la Bernoulli sur les deux points {0,1} avec comme variance maximum 1/4

[Ben314]

Oui, a condition de bien préciser qu'on met pas le xi au pif sur 0 ou 1, mais qu'on le met à chaque fois du coté où la fonction du second degré est à son maximum (de façon à être sur d'augmenter la variance).

Le problème, c'est que ça règle le problème que dans le cas où il y a un nombre fini distincts (on les décale les uns après les autres en 0 ou en 1 et à la fin on a une Bernoulli).
Je sais pas si c'est forcément le seul cas que tu veut traiter.
Dans le cas infini (dénombrable), on doit pouvoir faire pareil puis "passer à la limite", mais je pense qu'il y a plus simple sauf que... je vois pas... (en tout cas pas en passant par une Bernoulli)

Pour toi, vu ton niveau, d'avoir traité le cas où on a un nombre fini de te semble suffisant ou pas ?

[maxnihilist]

Si il y a une infinite de xi, qui finalement peuvent prendre n'importe quelle valeurs entre 0 et 1, on ne peut plus vraiment parler de distribution discrete dans ce cas ?

[Ben314]

Si, on peut, à condition que ça reste dénombrable (c'est la définition la plus fréquente de ce qu'est une "variable discrète"), mais si tu n'a jamais rencontré ce cas dans aucun exercices (ni dans le cours), je pense qu'il vaut mieux s'en tenir au cas fini pour cet exercice.