Ecrire t^-t comme somme d'une série

[PCTroyes]

Bonjour,
J'ai besoin d'une information, comment on écrit comme somme d'une série ? Pour tout t€[0,1]
J'en ai besoin pour avancer dans mon exo et j'ai l'impression que c'est soit on le sait soit on ne le sait pas.

Merci pour votre aide !

[PCTroyes]

J'avoue j'avais une idée, utiliser le fait que : (de n=0 à +INF), avec x=-t*ln(t)
Je vais le tenter mais je ne sais pas si ma série est valable pour tout x

[Ben314]

Salut,
Si tu précise pas au voisinage de quoi tu veut écrire ta fonction comme une série (*), on ne peut pas trop répondre a la question.
En général, quand on ne précise rien, ça sous entend "au voisinage de 0", sauf que dans le cas de ta fonction, il me semble bien que "au voisinage de 0", on risque pas de développer grand chose car ...

(*) Je suppose que tu veut dire "série entière en la variable ", vu que de nouveau, tu n'a rien précisé.

[PCTroyes]

Pour l'intervalle c'est [0,1].
Ensuite on me demande juste de l'écrire "comme somme d'une série"

[Robot]

J'avoue j'avais une idée, utiliser le fait que : (de n=0 à +INF), avec x=-t*ln(t)
Je vais le tenter mais je ne sais pas si ma série est valable pour tout x

Ton idée est exploitable. J'ai l'impression que Ben avait compris "développement en série entière". Là, c'est juste comme série de fonctions (normalement convergente sur [0,1], tu peux le vérifier). Après, l'avantage de l'écrire comme ça ne me semble pas évident.

[Ben314]

Dans ce cas, où on accepte une série quelconque, en réfléchissant bien, je pense avoir une solution : où et pour (je laisse deviner les ???).

Bon, O.K., j'y met "légèrement" de la mauvaise volonté (voire un soupons de mauvaise foi ) , mais... j'ai parfaitement répondu à la question...

[Robot]

Non, tu as exclu t=0 dans ta réponse !

[PCTroyes]

Ton idée est exploitable. J'ai l'impression que Ben avait compris "développement en série entière". Là, c'est juste comme série de fonctions (normalement convergente sur [0,1], tu peux le vérifier). Après, l'avantage de l'écrire comme ça ne me semble pas évident.

L'avantage vient pour la question d'après où je dois montrer qu'une série = une intégrale en utilisant le théorème d'intégration termes à termes.
Pour lequel il me faut une intégrale et une série

[Robot]

Pourrais-tu être plus précis ? Là, c'est assez nébuleux.

[PCTroyes]

Je comprend.
Ma question est :"Pour tout x€[0,1] écrire comme somme d'une série.
La question d'après est : Montrer : " "
Donc il faudrait utiliser le théorème d'intégration termes à termes.
Cependant je ne peux le faire ssi je répond à la première question que je vous ai posé

[PCTroyes]

Ps j'ai essayé avec mon idée mais ça ne donne sur rien. Donc il me faudrait une autre expression de t^(-t) comme somme d'une série que celle que j'avais proposé

[Robot]

Ah bon ? Moi je trouve que ça marche plutôt bien.

[PCTroyes]

Dans ce cas pouvez-vous le faire avec moi ?
On prend :

On a :

Partis de là. ADMETTONS que l'on ai réussi à appliquer le théorème d'intégration termes à termes.

A quel moment : " ?????

[alm]

Essaye de calculer l intégrale :

[Robot]

Bah, il suffit de montrer que .

[PCTroyes]

Essaye de calculer l intégrale :

Tout mon problème se situe là en fait
Parce que on peut toujours faire n IPP mais bon c'est bourrin non ?

[PCTroyes]

Bah, il suffit de montrer que .

Comment ce fait-il que vous ayez deux variables k et n ?

[Robot]

Rapproche tes deux derniers messages, et tu comprendras comment cela se fait.

[PCTroyes]

Rapproche tes deux derniers messages, et tu comprendras comment cela se fait.

Récurrence ?

[Robot]

A toi de voir.