Complexes, Suites

[razel]

Salut,
J'ai besoin d'aide concernant cet exercice :
1 )Calculer A = 1+cosx + cos 2x + ...... + cosnx
2)Calculer la limite de :
Un = 1/n ((sin(π/n) + sin(2π/n) + ..... + sin((n-1)π/n))

J'ai essayé d'utiliser la forme exponentielle mais après développement ça n'a rien donné.

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), il faut effectivement passer par la "forme exponentielle", et éventuellement constater que cos(x), c'est la partie réelle de exp(i.x).

Ensuite, il faut aussi utiliser les suites géométrique, et plus précisément la valeur de lorsque q est un complexe différent de 1.

Pour le moment, tu as écrit que A était égal à quoi ?

[razel]

A = ((1-e(ixn))/(1-e(ix)) + ((1-e(-ixn))(1-e(-ix))) / 2

[razel]

A = ((1-e(ix(n+1))/(1-e(ix)) + ((1-e(-ix(n+1))(1-e(-ix))) / 2

[Ben314]

Oui, ça m'a l'air bon. Avec du MimeTeX (met toi y...) ça donne

Attention à bien préciser que cette formule n'est valable que si (sinon "division by zéro error"...)

Ensuite, si on est courageux, on peut essayer d'écrire ça un peu différemment, histoire par exemple d'un peu mieux voir que le nombre en question est un réel.
Il y a plusieurs méthodes, et comme j'ai un peu la flemme de rentrer dans les subtilités, là, je t'inciterais juste à réduire au même dénominateur (les autres méthodes sont un peu plus courtes...).
Ton dénominateur "commun" étant de la forme avec , c'est un réel et en ce qui concerne le numérateur, si tu développe tout puis que tu revient avec des notations en sinus et cosinus, les imaginaires purs vont disparaitre.

Sinon, un truc plus astucieux, c'est de voir que où
Ensuite, que ce soit le numérateur où le dénominateur, ils sont de la forme et une astuce classique consiste à écrire que

[razel]

Merci beaucoup