Je rejoins ce forum afin de vous demander une petite aide concernant mon devoir maison de mathématique de niveau première S. J'aimerai que vous vérifiez mes réponses précisément, ainsi que vous m'aidiez à finir, la fin de question 7, puis les questions 8, 9 et 10 (pour ces 2 dernières questions j'ai des pistes).
Alors voici le sujet : http://img15.hostingpics.net/pics/182540DSC1003.jpg
Mes réponses :
1) a. Pour trouver les longueurs AB il faut utiliser le théorème de Pythagore. ABC est un triangle rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :
CB²=AC²+AB²
2²=1²+AB²
4=1+AB²
AB²=4-1
AB²=3
AB=V3
La base de ce triangle est AC et sa hauteur AB, donc : AireABC=B*h/2=1*V3/2=V3/2
b. AireABK=(V3/2)*R/2=V3/4R
AireBCK=2*R/2=R
AireACK=(1*R)/2=1/2R
c. AireABC=AireABK+AireBCK+AireACK
V3/2=V3R/2+R+1/2R
V3/2=V3R+3R/2
V3/2=R(V3+3)/2
V3/2=R(V3+3)*2
R=V3/3+V3
2) cosÂBC=BA/BC=V3/2 donc ÂBC=pi/6
cosBCÂ=CA/CB=1/2 donc BCÂ=pi/3
3) Dans le triangle ABC rectangle en A, la droite (CB) passe par K, qui est le centre du cercle inscrit à ce triangle.
Donc (CD) est une bissectrice de ABC et divise l’angle ÂCB par 2.
ÂCD=1/2ÂCB
ÂCD=1/2*pi/3
ÂCD=pi/6
Le triangle ACD est rectangle en A donc :
cosÂCD=AC/CD=CD=AC/cosÂCB
CD=1/cos(pi/3)
= 1/(V3/2)
= 2/V3
=2V3/3
4) D’après la question précédente, on sait que DC est une bissectrice et coupe l’angle C en deux. On sait donc que DCB=pi/6. D’après la question 2, ÂBC=pi/6. Par conséquent le triangle BCD est isocèle en D. Alors CD=BD et BD=2V3/3
5) Dans le quadrilatère AEKG, il y a 3 angles droits et (GK)=(KE), il s’agit donc d’un carré. Les droites (GK) et (AE) sont parallèles. De plus nous savons que dans ACD, G ;C ;A sont alignés et que C ;K ;D sont également alignés. Ainsi que (GK) parallèle à (AE). D’après le théorème de Thalès :
CA/CG=CD/CK d’où
CK=CD*CG/CA
= (2V3/3)*(1-V3/3+V3)/1
= 2/V3*(3+V3/3+V3)-(V3/3V3)
= 2/V3*(3/3+V3)
= 6/V3(3+V3)
= 6/(3V3+3)
= 6/3(V3+1)
= 2/V3+1
Donc CK=2/V3+1
6) DK=CD-DK
= 2V3/3-2/V3+1
= 3-V3/3
Donc DK=3-V3/3
7) DE=AB-AE
= V3-(3-V3/3)
=V3*3/1*3-(3-V3/3)
Pistes pour les questions 9 et 10
-13/12 <2*K=< 11/12
(-13/12)/2 <k=< (11/12)/2
-13/24 <K=< 11/24
k(0)
X=pi/12+2*0*pi
=pi/12
-23/12 <2*K’=< 1/12
(-23/12)/2 <k’=< (1/12)/2
-23/24 <k’=< 1/24
k’(0)
X=pi-(pi/12)+2*0*pi
=11pi/12
Les valeurs exactes de sin(pi/12) et cos(pi/12) sont {pi/12 ; -pi/12 ; pi/12 ; 11pi/12}
Voilà, merci beaucoup de prendre de votre temps pour m'aider !
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