Bonsoir,
On appelle projecteur de une application affine de dans vérifiant
Soit un endomorphisme de vérifiant (on dit que est une projection vectorielle)
1) Montrer que les seules valeurs propres possibles de sont et .
2) Montrer que et que .
3) En déduire que est diagonalisable
4) Que peut-on dire de ? Et de ?
5) (Cas euclidien) En étudiant la fonction pour deux vecteurs et bien choisis, montrer que pour tout si et seulement si et sont orthogonaux. On dit alors que est une projection vectorielle orthogonale.
Tout d'abord, je voulais savoir comment procéder pour la question 1, j'ai donné une réponse, mais ça me parait brouillon...
1) Considérons le polynôme , on voit clairement que ce polynôme est le polynôme annulateur de .
Soit une valeur propre de . Il existe un vecteur de non nul tel que .
Ainsi on a que
On a donc l'égalité suivante : .
Donc
étant supposé non nul, alors est racine du polynôme annulateur.
si et seulement si ou
2) Pas de soucis
3) Je ne sais pas comment démarrer, mais je sais pas non plus comment prouver que c'est diagonalisable, surtout avec ce que j'ai avant.
4) J'aurai dit que ce sont des projecteurs (Prouvé), mais je sais pas si on peut dire autre chose de plus important.
5) Demande réflexion