Les justifications sont très simples : si tu as une fonction R->R périodique de période T (et intégrable) alors l'intégrale de cette fonction sur un intervalle de longueur T ne dépend pas de l'intervalle :
dx=\int_{b}^{b+T}f(x)dx)
pour tout a,b de R.
C'est (à mon sens) trés intuitif, c'est pas bien compliqué à démontrer proprement et on s'en sert extrêmement souvent lorsque l'on a affaire à des intégrales de fonctions périodiques.
Ici, le fait que la fonction cos soit périodique
de période 2pi justifie la première égalité du post précédent.
Et le fait que la fonction x->|cos(x)| soit périodique
de période pi justifie l'égalité suivant le "On peut même directement écrire que..."
Enfin, on choisi ces intervalles là du fait que |A|=A ou -A selon que A>=0 ou non et donc il faut regarder sur quels intervalles on a cos(x)>=0 et sur lesquels on a cos(x)<=0 afin de pouvoir "virer" la valeur absolue.
