Quel doit être le format (hauteur, rayon) d’une boite de con

[MelioTatel]

j'ai ce problème je pense avoir relativement bien compris :

Quel doit être le format (hauteur, rayon) d’une boite de conserve cylindrique pour que, pour un volume
donné, la quantité de métal pour la concevoir, qu’on supposera proportionnelle à sa surface,
soit minimale.




Du fait que nous cherchons un volume je sais que la relation du volume est π×r^2×h
V est la constante car nous cherchons pour un volume donné
V= π×r^2×h
Vue cette relation , je peux l’exprimer en fonction de la hauteur : c’est-à-dire
V= π×r^2×h
Ce qui nous donne par égalité
H=V/(π×r²)
Nous maintenant la formule pour calculer la hauteur en fonction du volume et du rayon, nous allons maintenant chercher la fonction qui exprime le rayon
Ce qui donne : r= 2K/r+2(π×r^2)
je bloque à partir d'ici quelqu'un pourrait m'aider svp

[Ben314]

Salut,
Le truc à comprendre, c'est que, à ton niveau, il va effectivement falloir étudier une fonction d'une seule variable (vu que tu ne sait faire que ça), donc exprimer tout les trucs en fonction de LA variable choisie.
Par contre, je vois pas bien l'intérêt (dans un exercice de ce type) d'exprimer à la fois R en fonction de H et aussi H en fonction de R : un des deux te suffirait pour la suite. A priori, n'importe lequel, mais souvent, on essaye de prendre le plus "simple" des deux.

Ce qu'il faudrait surtout faire, c'est un peu avancer dans l'exercice qui te parle non seulement du volume (qui est fixe), mais aussi de la surface (qu'on veut minimiser).
C'est quoi la surface S de la boite ?
Peut tu l'exprimer en fonction d'une seule variable ? Laquelle ?

EDIT : j'avais pas tout lu en détail, mais ça :

Ce qui donne : r= 2K/r+2(π×r^2)

je comprend pas trop d'où tu le sort (et je vois pas bien qui est K là dedans)
Pour moi, partant de V= π×R^2×H, tu obtient
- Soit H=V/(π×R^2) qui donne H en fonction de R (V est "connu")
- Soit R=racine(V/(π×H)) qui donne R en fonction de H.

[MelioTatel]

s(r)= 2V/r+2(π×r^2) voila je me suis trompé

Edit j'avais pour idée de faire la dérivé de ça ce qui me donné à peu prés (2v/r)'
et donc là ça me donne (2v/r)'=-(2v/r²)

[Ben314]

Oui, c'est bon.
Maintenant, tu en est à la partie "calculatoire" consistant à étudier les variation de cette fonction (dérivée puis tableau de variation).
Peut être aussi commencer par bien préciser le domaine d'étude : vu le problème concret de départ, la variable r elle peut prendre quelles valeurs ? (i.e. sur quel "domaine" va-t-on étudier la fonction r->s(r) ?)

s(r)= 2V/r+2(π×r^2)
Edit j'avais pour idée de faire la dérivé de ça ce qui me donné à peu prés (2v/r)'
et donc là ça me donne (2v/r)'=-(2v/r²)

C'est bon, mais il t'en manque un bout vu que la dérivée de r->2(π×r^2) n'est pas nulle...

[MelioTatel]

mon n'est pas du tout cette partie CàD l'étude d'une Fonction et du signe de la dérivé , je suis désolé de te faire perdre ton temps si tu voudrais bien m'aider ça seras for appréciable



c'est à dire préciser que nous somme dans R^* et que la surface ne peut-être négative ?

[Ben314]

En fait, j'ai pas compris où tu bloquais : jusque là, c'est plutôt très bien ce que tu as fait : il y a juste un morceau de la fonction que tu n'as pas dérivé (plutôt le morceau le plus simple d'ailleurs) :
s'(r) = -2v/r² + ???

Et effectivement, a un moment ou un autre, il faut que tu dise que, vu le problème concret de départ, on a r>0 et donc on ne va étudier la fonction que sur R*+ (alors qu'en fait la fonction en question est aussi définie pour r<0).
On peut considérer que "ça coule de source", mais, a mon avis, il vaut mieux l'écrire quand même.

[MelioTatel]

En fait j'avais peur que pour : (2v/r)'
et donc là ça me donne (2v/r)'=-(2v/r²) il fallait une explication plus pousser
ha il me manque un morceau ? Edit : la dérivé de S(r) supprime techniquement ce qu'il y a après le +


oui la base c'est de préciser le domaine exactement étudier

[Ben314]

"techniquement parlant", comme tu dit, ben non, le deuxième morceau ne disparait pas...
s(r) = 2V/r + 2πr^2
s'(r) = -2V/r² + ???

[MelioTatel]

+pi x 2r non ???

[Ben314]

Presque : la dérivée de r->r² est r->2r et il ne faut pas oublier de "recopier" la constante multiplicative 2π située devant le r². Ça donne donc 2πx2r=4πr :
s(r) = 2V/r + 2πr^2
s'(r) = -2V/r² + 4πr

Et tu n'a plus qu'à étudier le signe de s'(r) pour pouvoir faire ton tableau de variation.

[MelioTatel]

Ok thanks