Relation d'ordre

[yooo]

Bonsoir,

Ma question est simple ainsi que sa réponse.
Est ce que l'ordre existe sur IR^n (n>2), c'est a dire par exemple sur IR^2 : (2,3)>(0,0) ?

Merci

[chan79]

tu pourrais essayer
(a,b,c) R (a',b',c') si (a<=a' et b<=b' et c<=c'))

[Ben314]

Le problème, c'est que la question est on ne peut plus "vague" : c'est quoi que tu appelle le ordre sur R^n ?
Rappel : le est un "article défini" : en écrivant le ordre, tu sous entend que, pour toi il n'y en a qu'un seul.

Si ta question est "existe t'il un ordre sur R^n" (i.e. une relation d'ordre) alors chan t'a répondu, mais on pourrait aussi te donner une "réponse de Normand", à savoir que, sur un ensemble absolument quelconque, la relation xRy ssi x=y est systématiquement une relation d'ordre.

[aymanemaysae]

Pour votre question, je réponds 'Oui' , la preuve est ici : l'ordre lexicographique.

[yooo]

Oui ma question était mal posée mais aymanemaysae l'a comprise. Je voulais pas du tout parler de relation d'ordre mais juste d'ordre "naturel" à mon sens (appelé lexicographique d'après bibmath?), un exemple de relation d'ordre en faite. Ma question était simplement une question de convention, à savoir si l'inégalité entre 2 espaces de IR^n avait un sens ou non. Par exemple, l'ordre lexicographique n'existe pas sur les complexes.

[Ben314]

Oui ma question était mal posée mais aymanemaysae l'a comprise. Je voulais pas du tout parler de relation d'ordre mais juste d'ordre "naturel" à mon sens (appelé lexicographique d'après bibmath?), un exemple de relation d'ordre en faite. Ma question était simplement une question de convention, à savoir si l'inégalité entre 2 espaces de IR^n avait un sens ou non. Par exemple, l'ordre lexicographique n'existe pas sur les complexes.

Bien sûr que si, vu que l'ensemble des complexes est (on ne peut plus canoniquement) isomorphe à R^2.
Et, à mon sens (et une fois de plus....) aymanemaysae est complètement "à coté de la plaque" avec sa réponse :
Autant dans R on utilise quasiment en permanence la relation d'ordre usuelle, autant, il est très rare qu'on utilise la relations d'ordre lexicographique sur R^2 (il n'y a que des domaines très particuliers des maths où c'est éventuellement utile).
On utilise au moins aussi fréquemment, voire même un peu plus (ce qui reste quand même du "très rarement"...) la relation d'ordre donnée par Chan79 ci dessus.
Donc ne va surtout pas t'imaginer à tort que l'ordre lexicographique est l'ordre "naturel" ou "conventionnel" sur R^n, ça ne l'est pas du tout : si tu trouve quelque part sur le net (et tu va devoir pas mal chercher) un truc du style (x,y)<(x',y') il y aura forcément la définition de ce que ça signifie pas loin, et il est fort possible que ça ne corresponde ni à l'ordre lexicographique, ni à l'ordre proposé par chan79.

Le GROS problème de aymanemaysae, c'est qu'elle va piocher les réponse qu'elle donne sur le net et qu'en général, elle a zéro recul pour comprendre de quoi il s'agit (usage fréquent ? rare ? notation usuelle ? atypique ?) et souvent, je me demande même si elle est capable de vérifier que le truc en question ne contient pas une "grosse boulette" (j'en ait vu même sur BiBmath : personne n'est parfait...)

Si tu veut essayer de comprendre (plutôt que d'ingurgiter sans se poser de question) le "pourquoi" il n'y a pas d'ordre "naturel" sur R^n, essaye de dresser la liste des propriétés qu'ont (ou pas) les deux ordres sus-mentionnés et vérifie que, dans les deux cas, on est loin du compte par rapport aux propriétés de l'ordre "naturel" sur R.

[yooo]

En relisant plus précisément vos réponses, je me rend en fin de compte que Ben314 avait déjà répondu à ma question. En faite je n'avais pas pensé au fait qu'une inégalité sur R^n peut avoir différents sens selon qu'on l'établie. Et pour revenir à l'ordre "naturel", j'avais bien précisé : "à mon sens" dans mon précédent commentaire, je sais bien que rien n'est naturel mais tout dépend du contexte dans lequel on se pose en mathématique

[Ben314]

Et pour revenir à l'ordre "naturel", j'avais bien précisé : "à mon sens" dans mon précédent commentaire

oui et non : je pense que personne ne se gène pour parler de l'ordre "naturel" sur R (on écrit plutôt "l'ordre usuel", mais bon...)
Alors que l'expression d'"ordre usuel" sur R², je pense pas que tu trouve ça où que ce soit.
Et encore moins celui d'"ordre usuel" sur C vu que, lorsque l'on enseigne les complexes, on serine à longueur de temps qu'il n'y a pas de relation d'ordre compatible (*) sur C (et que, bien qu'il existe, il ne faut surtout pas parler de l'ordre lexicographique que l'on pourrait éventuellement mettre sur C vu qu'il n'est pas compatible avec la structure algébrique)

(*) Et, perso., comme ça me gonfle de rentrer dans les détails de ce qu'est une relation d'ordre "compatible", je truande un peu en disant justement qu'il n'y a pas de relation d'ordre naturelle sur C (et à la limite j'explique plus en détail aux bon étudiants qui me posent des question à la fin du cours pour savoir ce que j'ai voulu dire par là)