C'est extrêmement facile à comprendre : la norme usuelle sur
c'est
qui est un réel positif (et qui correspond à la racine carré de <X|X>).
On voudrait faire un peu pareil dans
, sauf que, si on pose bêtement
alors
- Déjà ça veut pas dire grand chose vu que
est un complexe et donc que sa racine carrée n'est pas bien définie.
- C'est plus que très fâcheux que le résultat ne soit pas réel positif : on aimerais que, comme dans le cas réel, ça corresponde à une notion de distance.
Si on est un peu plus malin, on se dit qu'au fond,
c'est
et que ça serait pas idiot de prendre comme définition
(qui est bien un réel positif) c'est à dire en fait
(avec des modules) soit encore
.
Ca te conduit à définir l'équivalent du produit scalaire par
et là, tu constate que ton truc n'est pas bilinéaire, mais "hermitien" à cause des conjugués que tu as été obligé de mettre sur les second termes.
Et il y a d'autres points de vu "naïfs" conduisant à la même conclusion : c'est ça la "bonne" définition.